现代通信原理3.3：两个重要的信号处理模块-乘法器与滤波器

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  这一部分我们来介绍两种常用的信号处理模块，它们构成了我们大部分的通信系统。注意我们只从算法这一层面讨论这两种模块，看它们是如何改变信号的时域以及频域特性。具体的实现，可以在电子线路、数字信号处理等课程里面找到相关内容。

1、滤波器

   作为一种重要的线性系统，滤波器模块在通信系统中起着非常重要的作用。图1中给出了滤波器模块的模型图，其中 $x(t)$和 $X(f)$分别为输入信号的波形和频谱， $h(t)$和 $H(f)$分别为滤波器的时域冲激响应和频域传递函数， $y(t)$和 $Y(f)$分别为滤波器输出信号的波形和频谱。

图1 滤波器模块框图

   下面我们来看滤波器在通信系统中的两个应用，根据设计需要，分别塑造信号的频谱与波形。

1.1 塑造信号的频谱

   由于输出信号频谱等于输入信号频谱与滤波器频域传递函数相乘，即 $Y(f)=X(f)H(f)$。利用滤波器，通过设计 $H(f)$，我们可以按照需求来塑造滤波器输出信号的频谱。

【思考题1】如果滤波器输入信号的波形为 $x(t)={\rm Rect}\frac{t}{T_0}$，其中 $T_0$=0.01ms。现有滤波器 $h(t)={\rm Sa}(\pi f_1t)$，其中 $f_1=1$kHz。求输出信号 $y(t)$的波形与频谱。注意比较输入信号与输出信号之间频谱区别.

3.2 塑造信号的波形

   前面我们提到输出信号波形等于输入信号波形与滤波器冲激函数的卷积，即 $y(t)=x(t)*h(t)$。
   注意如果滤波器的输入信号为冲激信号，那么输出信号就为滤波器的冲激响应。也就是说，通过改变滤波器的冲激响应，在通信系统中就可以获得不同的传输波形。

【思考题2】如果滤波器输入信号为 $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$，考虑滤波器冲激响应分别为门函数 $h_1(t)={\rm Rect}(\frac{t}{\tau})$和三角函数 $h_2(t)=\Lambda (\frac{t}{2\tau})$，请画出输出信号波形。

2、频域卷积定理与乘法器模块

   我们来看看频域卷积定理：
$\tag{2.1} y(t)=x_1(t)x_2(t)\leftrightarrow Y(f)=X_1(f)X_2(f).$这意味着，如果两个信号波形 $x_1(t)$和 $x_2(t)$相乘，得到信号 $y(t)$，那么 $y(t)$的傅里叶变换（频谱密度）等于 $x_1(t)$和 $x_2(t)$频谱密度 $X_1(f)$和 $X_2(f)$卷积的结果。
   前面我们谈到，时域卷积定理说明了线性系统的时域与频域关系，那么频域卷积定理在系统上有什么意义呢？
   频域卷积定理说明了我们另外一种常用的模块，称为乘法器的时域与频域特性。
   如果乘法器模块输入两个信号， $x_1(t)$和 $x_2(t)$，乘法器的作用就是将这两个信号相乘得到输出信号 $y(t)$，如图2所示。

图2 乘法器模块框图

3、用乘法器和滤波器来搭建第一个调制解调器

   其实我们可以把乘法器和滤波器看成是积木，我们的通信系统可以用这两种模块搭建出来。
   图3就是一种非常重要的调制系统，模拟幅度调制，怎么样看起来不难吧，就是一个乘法器。图4是模拟幅度调制的相干解调器，好像也不难吧，就是一个乘法器外加一个滤波器。

图3 模拟幅度调制模型

图4 模拟幅度调制信号相干解调器模型

【思考题3】假定 $m(t)={\rm Sa}(\pi f_1t)$，请写出图3、图4中 $s(t)$、 $s_d(t)$、 $m_o(t)$波形与频谱的表达式。如果 $f_1<<f_c$，请画出 $s(t)$、 $s_d(t)$、 $m_o(t)$的波形以及频谱示意图。