正整数前n项平方和与立方和的推导

其他 2019-09-06 23:02:52 阅读次数: 0
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在中学时就学过正整数平方与立方的前n项和的公式，当时只是给出了这么一个公式，并让使用数学归纳法证明了一下，并没有给出这两个公式是怎么来的。昨天在学算法的时候用到了这两个公式，于是顺便正向地推导出了这两个公式。

\sum_{x=1}^{n}{x}^{2} = \frac{(2n+1)(n+1)n}{6}

\sum_{x=1}^{n}{x}^{3} = \frac{{n}^{2}{(n+1)}^{2}}{4}

可以首先结合几何方面的意义来初步地分析一下，如下图所示，\sum_{x=1}^{n}{x}^{m}就代表了蓝色矩形的面积之和，图中红色的线表示的是函数f(x)={x}^{m}，而绿色的线表示的是函数g(x)={(x+1)}^{m}。由此可以得到

\int_{0}^{n}{x}^{m}dx\leq \sum_{x=1}^{n}\leq \int_{0}^{n}{(x+1)}^{m}dx

而

\int_{0}^{n}{x}^{m}dx=\Theta ({x}^{m+1})

\int_{0}^{n}{(x+1)}^{m}=\Theta ({n}^{m+1})

所以我们可以得到

\sum_{x=1}^{n}{x}^{m}=\Theta ({n}^{m+1})

也就是\sum_{x=1}^{n}{x}^{m}的最后结果应该是一个最高次项的幂数为m+1的多项式。这样我们在下一步的推导中就有了初步的方向，也就是尝试使用一个m+1次的多项式来表示\sum_{x=1}^{n}{x}^{m}

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首先来看m=2的情况，也就是求解\sum_{x=1}^{n}{x}^{2}，我们最终应该使用一个3次的多项式来表示结果。

注意到

{(x+1)}^{3}={x}^{3}+3{x}^{2}+3x+1

所以

{(x+1)}^3-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1

有

{x}^{2}=\frac{{(x+1)}^{3}-{x}^{3}-3x-1}{3}

所以

\sum_{x=1}^{n}{x}^{2}=\sum_{x=1}^{n}\frac{{(x+1)}^{3}-{x}^{3}-3x-1}{3} =\frac{1}{3}{\sum_{x=1}^{n}}[{(x+1)}^{3}-{x}^{3}] - \sum_{x=1}^{n}x-\frac{n}{3}

其中\sum_{x=1}^{n}[{(x+1)}^{3}-{x}^{3}]={2}^{3}-{1}^{3}+{3}^{3}-{2}^{3}+...+{(n+1)}^{3}-{n}^{3}={(n+1)}^{3}-1

\sum_{x=1}^{n}x=\frac{(n+1)n}{2}

所以可以推出

\sum_{x=1}^{n}{x}^{2}=\frac{1}{3}[{(n+1)^{3}-1}]-\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{3}=\frac{(2n+1)(n+1)n}{6}

同理，根据{(x+1)}^{4}={x}^{4}+4{x}^{3}+6{x}^{2}+4x+1

{x}^{3}=\frac{{(x+1)}^{4}-{x}^{4}-6{x}^{2}-4x-1}{4}

我们使用相同的方法可以推导出

\sum_{x=1}^{n}{x}^{3} = \frac{{n}^{2}{(n+1)}^{2}}{4}

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