A*算法（一）算法导言

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1. 问题场景

已知 起始点（start）和目标点（goal），移动一个简单的物体（object）看起来是容易的
而路径搜索是复杂的，为什么涉及到路径搜索就产生麻烦了？
考虑以下情况：
物体（unit）最初位于地图的底端并且尝试向顶部移动

物体扫描的 区域中(粉色部分) 没有任何东西显示它不能向上移动，因此它持续向上移动
在靠近顶部时，它探测到一个障碍物然后改变移动方向，然后它沿着U形障碍物找到它的红色的路径
相反的，一个路径搜索器（pathfinder）将会扫描一个 更大的区域（淡蓝色部分）
但是它能做到不让物体走向凹形障碍物，而找到一条 更短的路径（蓝色部分）

然而可以扩展一个运动算法
用于对付上图所示的障碍物或者避免制造凹形障碍
或者把凹形出口标识为危险的(只有当目的地在里面时才进去)：

比起一直等到最后一刻才发现问题，而 路径搜索器 提前作出计划

不带路径搜索的运动（movement）可以在很多种情形下工作，同时可以扩展到更多的情形
但是路径搜索是一种更常用的解决更多问题的方法

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2. 结点图

计算机科学教材中的路径搜索算法在数学视角的图上工作——由边联结起来的结点集合
一个基于图块（tile）拼接的游戏地图可以看成是一个图
每个图块是一个结点，并在每个图块之间画一条边

目前，会假设使用二维网格（grid）
后续，会讨论如何建立其他类型的图

许多路径搜索算法是基于任意（arbitrary）的图设计的，而不是基于网格（grid-based）的图
但可以找到一些能使用网格地图的特性的东西

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3. 其他搜索算法

3.1 Dijkstra算法

Dijkstra算法 从物体所在的初始点开始，访问图中的结点
它 迭代检查 待检查结点集中的结点
并把 和该结点最靠近的尚未检查的结点 加入 待检查结点集
该结点集从初始结点向外扩展，直到到达目标结点

Dijkstra算法保证能找到一条从初始点到目标点的最短路径，只要所有的边都有一个非负的代价值
这里的“最短路径”不是指 绝对最短，因为经常会出现许多差不多短的路径

粉色的结点：初始点
紫色的结点：目标点
类菱形的有色区域（teal areas）：Dijkstra算法扫描过的区域
在有色区域中，颜色最亮的是那些离 初始点 最远的
因而形成探测过程（exploration）的边境（frontier）

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3.2 BFS算法

最佳优先搜索 （BFS，Best First Search）算法按照类似Dijkstra算法的流程运行
不同的是它能够评估（称为启发式的）任意结点到目标点的代价

与选择离初始点最近的结点不同的是，它选择离目标最近的结点

虽然BFS不能保证找到一条最短路径，但它比Dijkstra算法快的多
因为它用了一个启发式函数（heuristic function）快速地导向目标点
例如：
如果目标位于出发点的东方，BFS 将趋向于导向东方的路径

越黄的结点：越高的启发式值（移动到目标的代价高）
越黑的结点：越低的启发式值（移动到目标的代价低）
通过两张图片的比较，表明了与Dijkstra 算法相比，BFS运行得更快

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3.3 存在障碍的情况

然而，这两个例子都仅仅是最简单的情况——地图中没有障碍物，最短路径是直线的
现在来考虑前边描述的凹型障碍物

• Dijkstra算法运行得较慢，但确实能保证找到一条最短路径：
  

• BFS算法 运行得较快，但是它找到的路径明显不是一条好的路径：
  

问题在于BFS是基于贪心策略的，它试图向目标移动尽管这不是正确的路径
由于它仅仅考虑到达目标的代价，而忽略了当前已花费的代价
于是尽管路径变得很长，它仍然继续走下去

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3.4 取长补短

两种算法都有缺点，如果结合两者的优点岂不是爽歪歪？
1968年发明的A*算法就是把启发式方法，如BFS，和最短路径方法，如Dijsktra算法结合在一起的算法

不同的是，类似BFS的启发式方法经常给出一个近似解而不是保证最佳解
然而，尽管A* 基于无法保证最佳解的启发式方法，A* 却能保证找到一条最短路径

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4. A*算法

A*算法 是 路径搜索 中最受欢迎的选择，因为它相当灵活，并且能用于多种多样的情形之中

和其它的图搜索算法一样，A* 算法潜在地 搜索图中一个很大的区域
和Dijkstra一样，A* 算法能用于 搜索最短路径
和BFS一样，A* 算法能用启发式函数 引导自己

在简单的情况中，它和BFS一样快

在凹型障碍物的例子中，A*找到一条和Dijkstra算法一样好的路径：

这是因为A* 算法把Dijkstra算法（靠近初始点的结点）和BFS算法（靠近目标点的结点）的信息块结合起来

在讨论A* 的标准术语中：
$g(n)$：从 初始点 到任意结点n 的代价
$h(n)$：从 结点n 到目标点 的启发式评估代价（heuristic estimated cost）

在上图中：
$yellow(h)$：远离目标点的结点
$teal(g)$：远离初始点的结点

当从初始点向目标点移动时，A*权衡这两者
每次进行主循环时，它检查 $f(n)$最小的结点n，其中 $f(n) = g(n) + h(n)$

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参考：
《 Amit’s A star Page 》

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