前言？
终于放假了~~感觉再不趁机颓会儿我博客就废了……
赶紧写点东西刷刷存在感（骗点积分）
莫比乌斯函数
定义一种函数$\mu(d)$，满足：
1.若$d=1$，则$\mu(d)=1$。
2.若$d=p_1p_2p_3\cdots p_k$且$p_i$为互异素数时，$\mu(d)=(-1)^k$。
3.其他情况$\mu(d)=0$。
那么我们将函数$\mu(d)$称作莫比乌斯函数。
看上去很NB？
通俗一点，就是对于1来说$\mu(1)=1$，其他数的话若数d包含相同质因子则$\mu(d)=0$，若质因子各不相同，那么若x有奇数个质因子$\mu(d)=-1$，否则$\mu(d)=1$。
莫比乌斯函数有许多神奇的性质（就知道两个）：
性质一：$\sum\limits_{d|n}\mu(d) = [n==1]$
证明：
[n==1]意思就是当且仅当n=1时返回1，否则返回0。
$n=1$时显然成立。
$n \neq 1$时，首先对于$\mu(d)=0$的情况我们可以直接忽略，只需考虑$\mu(d)\neq 0$，即$d=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k}$且对于$\forall i\in [1,k]\ c_i=1$的情况。
设$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_i^{c_i}$，则d的质因子个数是j的情况一共有$C_i^j$种。
那么根据莫比乌斯函数的定义我们可以得到\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d) & = & C_i^0-C_i^1+C_i^2-\cdots +(-1)^kC_i^i \\& = & \sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j \end{array}
就是说我们只需要证明$\sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j = 0$就可以了。
这个东西就是个裸的二项式定理，不会二项式定理的话可以参考我的另一篇博客（又开始骗阅读了）。
于是我们就愉快的证明出了性质一。
性质二：$\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$
其中$\phi(n)$为欧拉函数（来看莫比乌斯反演的应该不会不知道吧……）。
这个性质会在下面讲狄利克雷卷积时证明。
求法：
求单个数的莫比乌斯函数直接分解质因数即可。
若求1～n项的莫比乌斯函数值，我们可以用Eratosthenes筛法计算。
#include<cstdio> using namespace std; int const N=1e5+5; int miu[N]; bool v[N]; inline void get_miu(int n){ for(register int i=1;i<=n;++i) miu[i]=1; for(register int i=2;i<=n;++i){ if(v[i])continue; miu[i]=-1; for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i){ v[j]=1; if((j/i)%i)miu[j]=-miu[j]; else miu[j]=0; } } return ; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); get_miu(n); return 0; }
也可以线性筛，只要在线性筛素数的基础上略做修改即可。
#include<cstdio> using namespace std; int const N=1e5+5; int miu[N],prime[N],tot; bool v[N]; inline void get_miu(int n){ miu[1]=1; for(register int i=2;i<=n;++i){ if(!v[i])prime[++tot]=i,miu[i]=-1; int zz=-miu[i]; for(register int j=1;j<=tot;++j){ int now=prime[j]*i; if(now>n)break; v[now]=1; if(i%prime[j])miu[now]=zz; else break; } } return ; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); get_miu(n); return 0; }
狄利克雷卷积
在学习狄利克雷卷积之前我们先了解一个东西叫做数论函数。
我们不必熟悉整个数论函数的体系，我们只需要了解一些常见数论函数即可。
而如果一个数论函数f对于任意两个互质的正整数a,b满足$f(a*b)=f(a)*f(b)$，我们把函数f称作积性函数。
注意积性函数与积性函数的乘积仍为积性函数。
我们见到的大部分数论函数都是积性函数，下面举一些例子：
1.$\phi(n)/\varphi(n)$ 欧拉函数 表示1～n中与n互质的数的个数。$\phi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]$
2.$\mu(n)$ 莫比乌斯函数 上面应该已经说的很清楚了，不再赘述。
3.$d(n)$ 约数个数 表示n的正因子个数 $d(n)=\sum\limits_{d|n}1$
4.$\sigma(n)$ 约数和函数 表示n的所有正因子之和 $\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$
5.$\epsilon(n)/e(n)$ 元函数 对于狄利克雷卷积的乘法单位 $\epsilon(n)=[n==1]$
6.$1(n)$ 恒等函数 恒为1 $1(n)=1$
7.$Id(n)$ 单位函数 就是本身的大小 $Id(n)=n$
若函数f对于任意一个正整数对(a,b)都满足$f(a*b)=f(a)*f(b)$，那么我们把函数f称作完全积性函数。
上面积性函数例子的5，6，7都是完全积性函数。
所有狄利克雷特征（一种数论函数，想了解的问度娘去）都是完全积性函数。
下面，我们正式开始讲解狄利克雷卷积。
定义一种运算$*$，对于函数f，g满足$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$，我们把这种运算$*$称作狄利克雷卷积。
狄利克雷卷积满足交换律，结合律以及分配律。
上面解释元函数$\epsilon(n)$时说到元函数是对于狄利克雷卷积的乘法单位，元函数可以在狄利克雷卷积中充当单位元，即$f*\epsilon=f$。
对于一个函数f，如果$f(1)\neq 0$，则都存在函数g满足$f*g=1$，我们把g称作f的逆元。
从某巨神的博客偷的逆元式子：
$g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})\right)$
$\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{1})=f(1)g(n)+\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})=[n==1]$
下面列举几种卷积关系：
1.$d=1*1$
2.$\sigma=d*1$
3.$Id=\phi*1$
4.$\epsilon=\mu*1$
5.$\phi=\mu*Id$
6.$1=\mu*d$
证明：
1，2显然（直接把函数表达式代入就行了）。
3：
\begin{array}{lcl}Id(n) & = & \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,n)==j] \\& = & \sum\limits_{j|n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[gcd(i,\frac{n}{j})==1] \\& = & \sum\limits_{j|n}\phi(\frac{n}{j}) \end{array}
即 $Id=\phi*1$
其实就是欧拉函数的一个性质：$\sum\limits_{d|n}\phi(d)=n$
4就是莫比乌斯函数的性质一，上面已经证明过，不再赘述。
5：
我好像说莫比乌斯函数的性质二要在讲狄利克雷卷积时证明？
这个5其实就是$\mu(n)$的性质二。
\begin{array}{cc}Id & = & \phi*1 \\Id*\mu & = & \phi*1*\mu \\Id*\mu & = & \phi*\epsilon \\Id*\mu & = & \phi \\ \sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} & = & \phi(n) \\ \sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} & = & \frac{\phi(n)}{n} \end{array}
证毕。
6.
\begin{array}{cc}d & = & 1*1\\d*\epsilon & = & 1*1\\ d*\mu*1 & = & 1*1\\ d*\mu & = & 1 \end{array}
证毕。
莫比乌斯反演
$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$
另一种形式：$f(n)=\sum\limits_{n|d}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$
我们先证明第一种形式。
已知$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$
则\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) & = & \sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}g(i) \\& = & \sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}g(i)\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d) \\& = & g(n)\end{array}
得证。
然而事实上可以用狄利克雷卷积证明。
$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$可以表示为$f=g*1$
则\begin{array}{lcl}f*\mu & = & g*1*\mu \\& = & g*(1*\mu) \\& = & g*\epsilon \\& = & g \end{array}
带入就可以得到莫比乌斯反演的两种形式了……