设函数\(f(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx\),其中\(\mathrm{e}\)为自然对数的底数,\(a,b\)为常数,且函数\(f(x)\)的极值点为\(x=1\),最大值为\(1\).
\((1)\) 求\(a,b\)的值;
\((2)\) 若\(f(x_1)=f(x_2)\),且\(x_1<x_2\),求证\(: x_1+2x_2>\mathrm{e}\).
解析
\((1)\) 由题易知\(f'(1)=0\),于是\(b=0\),从而,题中的极值点即最大值点,所以\(f(1)=1\),因此\[ (a,b)=(1,0).\]
\((2)\)
法一 由\(f(x_1)=f(x_2)\)可知\[ \dfrac{x_1}{\mathrm{e}^{x_1}}=\dfrac{x_2}{\mathrm{e}^{x_2}}.\]若设\(t=\dfrac{x_2}{x_1}\in\left(1,+\infty\right)\),则\[ t=\dfrac{x_2}{x_1}=\mathrm{e}^{x_2-x_1}.\]从而\[x_1=x_2-{\ln}t=t\cdot x_1-{\ln}t.\]所以\[ x_1=\dfrac{{\ln}t}{t-1},x_2=\dfrac{t{\ln}t}{t-1}.\]从而只需证明\[ \forall t>1,\dfrac{{\ln}t}{t-1}+\dfrac{2t{\ln}t}{t-1}>\mathrm{e}.\]等价于证明\[ \forall t>1,{\ln}t-\dfrac{\mathrm{e}(t-1)}{2t+1}>0.\]记上述不等式左侧为\(g(t)\)则\[ g'(t)=\dfrac{4t^2+(4-3\mathrm{e})t+1}{t(2t+1)^2},t>1.\]显然\(\forall t>1,g'(t)>0\),从而\(g(t)\)单调递增,所以\[ \forall t>1,g(t)>g(1)=0.\]证毕.
法二 由题\(f(x_1)=f(x_2)\),再结合指数平均不等式可得\[ \dfrac{x_1}{\mathrm{e}^{x_1}}=\dfrac{x_2}{\mathrm{e}^{x_2}}=\dfrac{x_1+x_2}{\mathrm{e}^{x_1}+\mathrm{e}^{x_2}}=\dfrac{x_1-x_2}{\mathrm{e}^{x_1}-\mathrm{e}^{x_2}}>\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x_1}+\mathrm{e}^{x_2}}.\]从而\[ x_1+x_2>2.\]于是\[ \dfrac{x_1+2x_2}{3}>\dfrac{x_1+x_2}{2}>1>\dfrac{\mathrm{e}}{3}.\]证毕.