[JZOJ4474][LuoguP4071] 排列计数 (排列组合 + 递推错排数（附证明）)

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题目描述

题目描述
求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7取模。

输入格式
第一行一个数 T，表示有 T 组数据。
接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

输出格式
输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

数据范围及提示
测试点 1 ~ 3： T = 1000，n≤8，m≤8；
测试点 4 ~ 6： T = 1000， n≤12，m≤12；
测试点 7 ~ 9： T = 1000， n≤100，m≤100；
测试点 10 ~ 12： T = 1000，n≤1000，m≤1000；
测试点 13 ~ 14： T = 500000，n≤1000，m≤1000；
测试点 15 ~ 20： T = 500000，n≤1000000，m≤1000000。

样例输入输出

Sample Input
5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000
Sample Output
0
1
20
578028887
60695423

题解

读完题目，可以很容易地想到排列组合 （不要问我为什么，如果想知道，请右上角离开）

首先，根据小学奥数的经验（应该是酱紫的），可以想到，应该固定m个点保证它们稳定，那么，剩下的数只需要都不稳定就好了。（说得容易，我考试就是这步不会）

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求固定m个数稳定的所有请款很简单，用排列组合的术语来表示，即是 $C_ n^m$

普及一下（不过应该都知道）， $C_n^m$表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，即从n个不同元素中取出m个元素的组合数；其中组合的定义为：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（不考虑顺序）
这里，给出组合数的公式：
$C_m^n = \frac{n!}{m! * (n - m)!}$
其中，特别规定0! = 1

不过，打代码的时候需要注意一个细节，由于n和m很大，所以阶乘也很大，又由于除法实在模运算下的，因此，我们需要借助逆元来完成模运算下的除法运算。
至此，本题的前半部分就解完了。

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接下来，我们引入一个概念：错排数

• 假设有n个元素，n个位置，每个元素都有自己唯一的正确位置，问，所有元素都处在错误位置有多少可能

错排数的算法有很多，这里只介绍其中最常用，最简单的递推算法

首先，我们记 $f(n)$表示n个数位的错排数，那么：
假设第1个位置放置了第k个数（k≠1），其中k有n - 1种放法，接下来，我们继续研究剩下的n - 1个数：

• 假设第k个位置上放置了第1个数，那么我们还需要求剩下 n - 2 个数的错排数，即： $(n - 1) *f (n - 2)$；
• 假设第k个位置上没有放置第1个数，那么我们需要求的就是剩下 n - 1 个数的错排数，即： $(n - 1) * f (n - 1)$
• 综上，我们可以得到错排数的递推公式如下：
  $f (n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n -1))$
  其中， $f(0) = 1, f(1) = 0$

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那么，再用上乘法原理，答案就显而易见了：
$ans_n,_m = C_m^n * f(n - m)$

参考代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long

const int N = 1e6;
const LL mod = 1e9 + 7;
int T, n, m;
LL mul[N + 5], inv[N + 5], f[N + 5];

LL exgcd (const LL a, const LL b, LL &x, LL &y) {
	if (! b) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	LL d = exgcd (b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}
LL getInv (const LL a) {
	LL x, y;
	LL d = exgcd (a, mod, x, y);
	return d == 1 ? (x % mod + mod) % mod : -1;
}

void prepare () {
	mul[0] = 1; inv[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N; ++ i) {
		mul[i] = mul[i - 1] * i % mod;
		inv[i] = getInv (mul[i]);
	}
	f[0] = 1, f[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= N; ++ i)
		f[i] = (i - 1) * ( (f[i - 2] + f[i - 1]) % mod ) % mod;
}

LL sovle () {
	return mul[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod * f[n - m] % mod;
}

int main () {
	prepare ();
	scanf ("%d", &T);
	while (T --) {
		scanf ("%d %d", &n, &m);
		LL ans = sovle ();
		printf ("%lld\n", ans); 
	}
	return 0;
}