线性代数 | (10) 相似对角形

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目录

1. 矩阵的相似

2. 特征值与特征向量的求法

3. 特征值与特征向量的性质

4. 一般矩阵的相似对角形

5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质

6. 实对称矩阵的相似对角化

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1. 矩阵的相似

• 矩阵的相似

(iv)的证明：

• 矩阵的特征值和特征向量

2. 特征值与特征向量的求法

由此可见矩阵的k重特征值不一定有k个线性无关的特征向量。

3. 特征值与特征向量的性质

用数学归纳法证明：

上节课的例题：

• 推论

• 例题

• 特征值求法公式

• 特征值与矩阵的关系

矩阵A的特征值之和=trace(A) 即矩阵A的迹。

• 练习

4. 一般矩阵的相似对角形

• 矩阵与对角阵相似的条件

推论：若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似，反之不对。

n阶矩阵能够与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。

若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；若矩阵A有重特征值，不能马上断言，这时要看特征向量，实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可。

• 练习

• 矩阵相似对角化的方法

• 矩阵相似对角化的步骤

• 练习

5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质

• 性质1

实对称矩阵的特征值都是实数。

证明一个数是实数，就是证明该数的共轭与该数相等。

• 性质2

实对阵矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。

对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。

• 性质3

实对阵矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个。

也就是说实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。

注意一般矩阵的k重特征值所对应的线性无关的特征向量不一定有k个，不一定与对角阵相似。

6. 实对称矩阵的相似对角化

• 例题

• 用正交阵将实对称矩阵A对角化的步骤

• 练习