目录
1. 行列式的概念
求下列方程组的解：
利用高斯消元法求解：
为了记忆，引入如下的符号：
下面是给出解的形式：
二阶行列式：
三阶行列式：
2. n阶行列式
这样就可以得到：
类似地，可以按任意一行或列展开：
当计算3阶行列式时，当某一行或列只有一个非零值时，用代数余子式展开会非常好做，不然还是使用之前的对角线法则来做：
- n阶行列式
注意余子式和代数余子式的区别，后者有符号：
一般地，余子式,在原始行列式中去掉第i行、第j列的元素后，剩余元素的行列式，代数余子式
是在
的基础上再乘以
：
n阶行列式的计算可以按行或列展开：
3. 特殊行列式的计算
- 对角行列式
- 三角行列式
包括下三角行列式和上三角行列式：
- 斜三角行列式
- 计算下列行列式
按第一列展开：
4. 行列式的性质
- 性质1
即
在行列式中，行和列的位置是对称的，对行成立的，对列也成立。下面只介绍关于行列式的行的性质。
- 性质2
互换两行，行列式变号：
推论：
若行列式中有两行元素完全相同 则行列式为零（只有0的相反数是本身）。
证明：
- 性质3
用数k乘行列式某一行中所有元 素，等于用k乘此行列式。即:
推论：
某一行/列的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。
- 性质4
行列式某一行元素加上另 一行对应元素的k倍，行列式的值 不变。即:
证明：
可以把左边行列式拆开，把拆开后的右边提出k后，会发现有两行相同，这一部分为0，所以是不变的：
- 性质5
若行列式某一行的元素是两数之 和，则行列式可拆成两个行列式的和。
推论：
若行列式某一行的元素都是m个元素的和，则行列式可以写成m个 行列式的和。
5. 行列式的计算
更一般地：
- 练习
如果某行或列全为0的话，则行列式为0.
各个行的和是一样的，所以可以把各列加到第一列上，提出因子,分别把第一列的
倍加到第j列上，得到一个下三角矩阵。
可以把某行/列的k倍加到另一行/列，使某行或列尽可能出现更多0值，然后按该行/列展开，逐步化简。
6. 克莱姆法则
二元方程组可以使用行列式求解：
n元方程组的解也可以用行列式求解：
- 定理1
若方程组的系数行列式不等于0：
则方程组有惟一解：
- 定理2
下面的方程组被称为奇次线性方程组：
若齐次方程组的系数行列式,则方程组有惟一零解.
7. 范德蒙行列式
对于降幂排列：
先把降幂转换为升幂，最后一行依次向上移动，其他行同样依次移动；再以同样的方式，移动各个列，把大数放在右边，小数在左边，保证为正数：
8. 行列式与逆序数
- 全排列与逆序数
全排列：
n个不同的元素排成一列，称为n个元素的 全排列。如:12345678，76532184，等等 均为8个元素的全排列。n个元素的全排列共有n!个。
逆序与逆序数：
全排列123 ·n称为标准排列,此时元素之间的顺序称为标准顺序。在任一排列中，若某两个元素的顺序与标准顺序不 同，就称这两个元素构成了一个逆序。213中，2与1就构成了一 个逆序。321中，1与2， 2与3，1与3都构成逆序。
在一个排列中，逆序的总和称为逆序 数。如213的逆序数为1，321的逆序 数为3。
从第一个元素起，该元素前 有几个数比它大，这个元素的逆序就 是几。将所有元素的逆序相加，即得到排列的逆序数。
- 练习
-
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆 序数为偶数的排列称为偶排列。如
在三个元素的全排列中，123、231、312为偶排列，逆序数分别为0、2、2；132、213、321为奇排列，逆序数分别为1、1、3.
- 对换
在一个排列中，任意对调两个元素， 其余元素不变，即得到一个新排列， 这样一种变换称为对换。
性质：
1) 任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变。
2）在n个元素的全排列中，奇偶排列各占一半 n!/2.
- 三阶行列式
- n阶行列式
9. 行列式展开定理
n阶行列式D 等于它的任一行(列)各 元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
