一、分类算法中的损失函数
在分类算法中，损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和，即有如下的形式：
J(w)=∑iL(mi(w))+λR(w)J(w)=∑iL(mi(w))+λR(w)
其中，L(mi(w))L(mi(w))为损失项，R(w)R(w)为正则项。mimi的具体形式如下：
mi=y(i)fw(x(i))mi=y(i)fw(x(i))
y(i)∈{−1,1}y(i)∈{−1,1}
fw(x(i))=wTx(i)fw(x(i))=wTx(i)
对于损失项，主要的形式有：
- 0-1损失
- Log损失
- Hinge损失
- 指数损失
- 感知损失
1、0-1损失函数
在分类问题中，可以使用函数的正负号来进行模式判断，函数值本身的大小并不是很重要，0-1损失函数比较的是预测值fw(x(i))fw(x(i))与真实值y(i)y(i)的符号是否相同，0-1损失的具体形式如下：
L01(m)={01 if m⩾0 if m<0L01(m)={0 if m⩾01 if m<0
以上的函数等价于下述的函数：
12(1−sign(m))12(1−sign(m))
0-1损失并不依赖mm值的大小，只取决于mm的正负号。0-1损失是一个非凸的函数，在求解的过程中，存在很多的不足，通常在实际的使用中将0-1损失函数作为一个标准，选择0-1损失函数的代理函数作为损失函数。
2、Log损失函数
2.1、Log损失
Log损失是0-1损失函数的一种代理函数，Log损失的具体形式如下：
log(1+exp(−m))log(1+exp(−m))
运用Log损失的典型分类器是Logistic回归算法。
2.2、Logistic回归算法的损失函数
对于Logistic回归算法，分类器可以表示为：
p(y∣x;w)=σ(wTx)y(1−σ(wTx))(1−y)p(y∣x;w)=σ(wTx)y(1−σ(wTx))(1−y)
其中，y∈{0,1}y∈{0,1}。为了求解其中的参数ww，通常使用极大似然估计的方法，具体的过程如下：
1、似然函数
L(w)=∏i=1nσ(wTx(i))y(i)(1−σ(wTx(i)))(1−y(i))L(w)=∏i=1nσ(wTx(i))y(i)(1−σ(wTx(i)))(1−y(i))
其中，
σ(x)=11+exp(−x)σ(x)=11+exp(−x)
2、log似然
logL(w)=∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))logL(w)=∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))
3、需要求解的是使得log似然取得最大值的ww，可以转换为求最小值：
−logL(w)=−∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))−logL(w)=−∑i=1ny(i)log(σ(wTx(i)))+(1−y(i))log(1−σ(wTx(i)))
这便是交叉熵的具体形式。
2.3、两者的等价
由于Log损失的具体形式为：
log(1+exp(−m))log(1+exp(−m))
其中，m=y(i)wTx(i)m=y(i)wTx(i)，y(i)∈{−1,1}y(i)∈{−1,1}，Log损失函数的具体形式为：
minw∑i=1nlog{1+exp(−y(i)wTx(i))}minw∑i=1nlog{1+exp(−y(i)wTx(i))}
Logistic回归与Log损失具有相同的形式，故两者是等价的。Log损失与0-1损失的关系可见下图。
3、Hinge损失函数
3.1、Hinge损失
Hinge损失是0-1损失函数的一种代理函数，Hinge损失的具体形式如下：
max(0,1−m)max(0,1−m)
运用Hinge损失的典型分类器是SVM算法。
3.2、SVM的损失函数
对于软间隔支持向量机，允许在间隔的计算中出现少许的误差ξ⃗ =(ξ1,⋯,ξn)ξ→=(ξ1,⋯,ξn)，其优化的目标为：
minw,γ,ξ[12∥w∥2+C∑i=1nξi]minw,γ,ξ[12‖w‖2+C∑i=1nξi]
约束条件为：
(wTx(i)+γ)y(i)⩾1−ξi,ξi≥0(wTx(i)+γ)y(i)⩾1−ξi,ξi≥0
3.3、两者的等价
对于Hinge损失：
max(0,1−m)max(0,1−m)
优化的目标是要求：
minw[∑i=1nmax(0,1−fw(x(i))y(i))]minw[∑i=1nmax(0,1−fw(x(i))y(i))]
在上述的函数fw(x(i))fw(x(i))中引入截距γγ，即：
fw,γ(x(i))=wTx(i)+γfw,γ(x(i))=wTx(i)+γ
并在上述的最优化问题中增加L2L2正则，即变成：
minw,γ[C∑i=1nmax(0,1−fw,γ(x(i))y(i))+12∥w∥2]minw,γ[C∑i=1nmax(0,1−fw,γ(x(i))y(i))+12‖w‖2]
至此，令下面的不等式成立：
max(0,1−fw,γ(x)y)=minξξmax(0,1−fw,γ(x)y)=minξξ
约束条件为：
ξ⩾1−fw,γ(x)y;ξ⩾0ξ⩾1−fw,γ(x)y;ξ⩾0
则Hinge最小化问题变成：
minw,γ,ξ[C∑i=1nξi+12∥w∥2]minw,γ,ξ[C∑i=1nξi+12‖w‖2]
约束条件为：
ξi⩾1−(wTx(i)+γ)y(i);ξi⩾0ξi⩾1−(wTx(i)+γ)y(i);ξi⩾0
这与软间隔的SVM是一致的，说明软间隔SVM是在Hinge损失的基础上增加了L2L2正则。
4、指数损失
4.1、指数损失
指数损失是0-1损失函数的一种代理函数，指数损失的具体形式如下：
exp(−m)exp(−m)
运用指数损失的典型分类器是AdaBoost算法。
4.2、AdaBoost基本原理
AdaBoost算法是对每一个弱分类器以及每一个样本都分配了权重，对于弱分类器φjφj的权重为：
θj=12log1−R(φj)R(φj)θj=12log1−R(φj)R(φj)
其中，R(φj)R(φj)表示的是误分类率。对于每一个样本的权重为：
wi=exp(−f(x(i)y(i)))∑n[exp(−f(x(i)y(i)))]wi=exp(−f(x(i)y(i)))∑n[exp(−f(x(i)y(i)))]
最终通过对所有分类器加权得到最终的输出。
4.3、两者的等价
对于指数损失函数：
exp(−m)exp(−m)
可以得到需要优化的损失函数：
minθ[∑i=1nexp(−fθ(x(i))y(i))]minθ[∑i=1nexp(−fθ(x(i))y(i))]
假设f~f~表示已经学习好的函数，则有：
minθ,φ[∑i=1nexp(−{f~θ(x(i))+θφ(x(i))}y(i))]minθ,φ[∑i=1nexp(−{f~θ(x(i))+θφ(x(i))}y(i))]
=minθ,φ[∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))]=minθ,φ[∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))]
而：
∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))={exp(θ)−exp(−θ)}∑i=1nwi~2(1−φ(x(i))y(i))+exp(−θ)∑i=1nwi~∑i=1nwi~exp(−θφ(x(i))y(i))={exp(θ)−exp(−θ)}∑i=1nwi~2(1−φ(x(i))y(i))+exp(−θ)∑i=1nwi~
通过最小化φφ，可以得到：
φ^=argminφ∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))φ^=argminφ∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))
将其代入上式，进而对θθ求最优解，得：
θ^=12log1−R^R^θ^=12log1−R^R^
其中，
R^={∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))}/{∑i=1nw~i}R^={∑i=1nw~i2(1−φ(x(i))y(i))}/{∑i=1nw~i}
可以发现，其与AdaBoost是等价的。
5、感知损失
5.1、感知损失
感知损失是Hinge损失的一个变种，感知损失的具体形式如下：
max(0,−m)max(0,−m)
运用感知损失的典型分类器是感知机算法。
5.2、感知机算法的损失函数
感知机算法只需要对每个样本判断其是否分类正确，只记录分类错误的样本，其损失函数为：
minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]
5.3、两者的等价
对于感知损失：
max(0,−m)max(0,−m)
优化的目标为：
minw[∑i=1nmax(0,−fw(x(i))y(i))]minw[∑i=1nmax(0,−fw(x(i))y(i))]
在上述的函数fw(x(i))fw(x(i))中引入截距bb，即：
fw,γ(x(i))=wTx(i)+bfw,γ(x(i))=wTx(i)+b
上述的形式转变为：
minw,b[∑i=1nmax(0,−(wTx(i)+b)y(i))]minw,b[∑i=1nmax(0,−(wTx(i)+b)y(i))]
对于max函数中的内容，可知：
max(0,−(wTx(i)+b)y(i))⩾0max(0,−(wTx(i)+b)y(i))⩾0
对于错误的样本，有：
max(0,−(wTx(i)+b)y(i))=−(wTx(i)+b)y(i)max(0,−(wTx(i)+b)y(i))=−(wTx(i)+b)y(i)
类似于Hinge损失，令下式成立：
max(0,−fw,b(x)y)=minξξmax(0,−fw,b(x)y)=minξξ
约束条件为：
ξ⩾−fw,b(x)yξ⩾−fw,b(x)y
则感知损失变成：
minξ[∑i=1nξi]minξ[∑i=1nξi]
即为：
minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]minw,b[−∑i=1ny(i)(wTx(i)+b)]
Hinge损失对于判定边界附近的点的惩罚力度较高，而感知损失只要样本的类别判定正确即可，而不需要其离判定边界的距离，这样的变化使得其比Hinge损失简单，但是泛化能力没有Hinge损失强。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
xmin, xmax = -4, 4
xx = np.linspace(xmin, xmax, 100)
plt.plot([xmin, 0, 0, xmax], [1, 1, 0, 0], 'k-', label="Zero-one loss")
plt.plot(xx, np.where(xx < 1, 1 - xx, 0), 'g-', label="Hinge loss")
plt.plot(xx, np.log2(1 + np.exp(-xx)), 'r-', label="Log loss")
plt.plot(xx, np.exp(-xx), 'c-', label="Exponential loss")
plt.plot(xx, -np.minimum(xx, 0), 'm-', label="Perceptron loss")
plt.ylim((0, 8))
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel(r"Decision function $f(x)$")
plt.ylabel("$L(y, f(x))$")
plt.show()
参考文章