对于分数\(n/d\)，其中\(n,d\)均为正整数，如果\(n<d\)且两者的最大公约数\(HCF(n,d)=1\)，这个分数就称之为简分数。如果我们把\(d\le8\)的所有简分数以从小到大的顺序排列，则有：
\[ \frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8}, \]
可以看到，\(2/5\)是在\(3/7\)左边且紧邻它的分数。如果把\(d\le10^6\)的所有简分数以从小到大的顺序排列，那么在紧邻\(3/7\)且在它左边的分数的分子是多少？
分析：题目中所列的序列实际上就是数论中著名的Farey Sequence，关于这个序列的详细介绍可以参见这个维基页面。Farey Sequence有一个有趣的性质，对于其中任意三个连续的分数，假设第一个分数为\(a/b\)，第三个分数为\(c/d\)，则中间第二个分数为\((a+b)/(c+d)\)。如在题目给出的示例中，\(1/7\)在\(1/8\)和\(1/6\)之间，而\((1+1)/(8+6)=2/14=1/7\)。类似的，我们可以验证序列中的其它分数也满足同样的性质。
题目要求紧邻\(3/7\)且在其左边的分数，则我们可以根据以上性质，先求出\(2/5\)与\(3/7\)之间的分数等于\(5/12\)，这个数距\(3/7\)比\(2/5\)要更近。紧接着，我们可以求\(3/7\)与\(5/12\)之间的数，为\(8/19\)。如此迭代下去，我们可以把这些分数列出来：
\[ \frac{2}{5},\frac{5}{12},\frac{8}{19},\frac{11}{26},\frac{14}{33},\cdots,\frac{2+3k}{5+7k} \]
题目中要求\(d\le10^6\)，即要求\(5+7k\le10^6\)，求得\(k=142856\)，将其代入分子，则有：
\[ 2+3k=2+3\cdot142856=428570 \]
即为题目所求。显然这道题只需要笔算即可求解，以下代码只是以上思路的直接描述：
# time cost = 408 ns ± 1.89 ns
def main(D=10**6):
k = int((D-5)/7)
return 2+3*k