和差角公式推导
余弦差角公式推导
余弦差角公式是三角恒等变换的一系列公式的基础，推导出它，就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量，而不是普通的几何方法。以下为推导过程。
设在平面直角坐标系\(Oxy\)中，有角\(\alpha , \beta\)，且\(\alpha > \beta\)。推导\(\cos(\alpha - \beta)即C_{(\alpha-\beta)}\)
设\(\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta)\)。
则
\[ \begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} \]
即
\[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]
余弦和角公式推导
可以根据\(C_{(\alpha-\beta)}\)，得到\(C_{(\alpha+\beta)}\)（根据诱导公式\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)得到）。以下为推导过程。
根据\(C_{(\alpha-\beta)}\)，易得
\[ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]
总结一下，余弦和差角公式可以写成这样：
\[ C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]
//以下为草稿，未完成
正弦和差角公式推导
根据诱导公式\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)，即可进行转化。