3张图带你看懂扩展KMP(EXKMP)
约定:
对于一个字符串\(s\),我们规定\(s[l,r]\)表示字符\(s[l],s[l+1],s[l+2],\dots,s[r-1],s[r]\)按顺序拼接成的字符串.s的下标从1开始.\(s[1,i] (i \in[1,n])\)表示\(s\)的一个前缀,\(s[i,n](i \in[1,n])\)表示\(s\)的一个后缀
扩展KMP解决的问题
定义母串s和子串t,s的长度为n,t的长度为m.求字符串t与字符串s的每一个后缀 的最长公共前缀。扩展KMP算法可以求出一个extend数组,其中\(extend[i]\)表示\(t\)与\(s[i,n]\)的公共前缀长度。如s=“aaaabaa”,t="aaaaa",那么extend={4,3,2,1,0,2,1}
显然\(\forall j \in [1,extend[i]],t[1,j]=s[i,i+j-1]\)
扩展KMP的过程
求extend
类似KMP算法中的next(fail)数组,我们定义\(nex[i]\)表示\(t\)与\(t[i,n]\)的公共前缀长度。假设我们已经求出了\(t\)的\(nex\),那么如何求\(extend\)呢?
扩展KMP和KMP一样是一个递推的过程。当前我们求出了\([1,i-1]\)的\(extend\),我们现在要求\(extend[i]\).我们维护\(r\)表示\(t\)最远在\(s\)上匹配到了哪里,即\(r=\max_{j=1}^i (j+extend[j]-1)\),并且记录\(r\)取最大值的位置\(p_0\).我们考虑\(t\)从\(p_0\)开始匹配的情况,容易发现\(s[i]\)位置对应的是\(t[i-p_0+1]\).我们想从已知中推出\(i\)之后的匹配状态，注意到\(nex[i-p_0+1]\)可以表示\(i\)往后的匹配长度，如下图所示\(t[1,nex[i-p_0+1]]=t[i-p_0+1,i-p_0+nex[i-p_0+1]]\)
根据\(nex[i-p_0+1]\)的大小，分两类讨论
(1) 当\(i+nex[i-p_0+1]<r\)
根据\(nex\)的定义,我们有\(t[1,nex[i-p_0+1]]=t[i-p_0+1,i-p_0+nex[i-p_0+1]]\),即图中两块蓝色部分相等。
又因为\(t\)在\(p_0\)时能与\(s[p_0,n]\)匹配到\(r\)(绿色部分),所以\(t[i-p_0+1,i-p_0+nex[i-p_0+1]]=s[i,i+nex[i-p_0+1]-1]\)(蓝色部分等于上方绿色部分)。
所以\(t[1,nex[i-p_0+1]]=s[i,i+nex[i-p_0]-1]\)，也就是说,\(extend[i]\)必然不小于\(nex[i-p_0+1]\).
考虑\(t[nex[i-p_0+1]+1]\)(黄色部分),若\(s[i+nex[i-p_0+1]]=t[nex[i-p_0+1]]\)，则由于t一直匹配到r,且\(i+nex[i-p_0+1]<r\) , \(t[i-p_0+nex[i-p_0+1]+1]=t[nex[i-p_0+1]]\)。(黄色部分等于上面第1行绿色部分,上面第1行绿色部分又等于第2行绿色部分). 那么根据定义,nex可以再增加1,矛盾。因此\(extend[i]=nex[i-p_0+1]\)
(2) 当\(i+nex[i-p_0+1] \geq r\)
显然有\(s[i,r]=t[i-p_0+1,r-p_0+1]\),
根据nex的定义有\(t[i-p_0+1,r]=t[1,r-(i-p_0+1)+1]\)
那么\(s[i,r]=t[1,r]\),也就是说,\(extend[i]\)必然不小于\(nex[i-p_0+1]\).但是不像情况1,我们知道r后面的s与t的匹配情况。所以这里就从i开始向后暴力匹配。匹配完成后r必定会向右移动,更新p0,r.
void get_extend(char *s,int n,char *t,int m,int *extend){
static int nex[maxn+5];
get_nex(t,m,nex);
extend[1]=0;
while(s[extend[1]+1]==t[extend[1]+1]) extend[1]++;//暴力初始化extend[1]
for(int i=2,p0=1,r=p0+extend[p0]-1;i<=n;i++){
if(i+nex[i-p0+1]-1<r) extend[i]=nex[i-p0+1];//情况1
else{
//情况2
extend[i]=max(r-i+1,0);//extend[i]>=r-i+1
while(s[i+extend[i]]==t[1+extend[i]]) extend[i]++;
p0=i;
r=i+extend[i]-1;
}
}
}求nex
类比KMP求nex数组是自己和自己匹配。EXKMP求nex也是t和t求一遍nex
void get_nex(char *t,int m,int *nex){
nex[1]=m;//nex[1]表示t和t匹配，显然为m
nex[2]=0;
while(t[2+nex[2]]==t[1+nex[2]]) nex[2]++;//暴力初始化nex[2]
for(int i=3,p0=2,r=p0+nex[p0]-1;i<=m;i++){
if(i+nex[i-p0+1]-1<r) nex[i]=nex[i-p0+1];//情况1
else{
nex[i]=max(r-i+1,0);//情况2
while(t[i+nex[i]]==t[1+nex[i]]) nex[i]++;//暴力匹配
p0=i;
r=i+nex[i]-1;
}
}
}容易发现在i时需要的nex都是求过的，所以正确性不会有问题
扩展KMP的时间复杂度分析
求extend
对于情况(1)，无需做任何匹配即可计算出extend[i]，对于情况(2)，每次从s中未被匹配的位置r开始匹配，匹配过的位置不再匹配，也就是说对于母串的每一个位置，都只匹配了一次，所以算法总体时间复杂度是\(O(n)\)的
求nex
与求extend类似，是\(O(m)\)的
综上，时间复杂度为\(O(n+m)\)
代码LuoguP5410 [模板]扩展KMP
//https://www.luogu.com.cn/problem/P5410
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 100000
using namespace std;
int n,m;
char s[maxn+5],t[maxn+5];
void get_nex(char *t,int m,int *nex){
nex[1]=m;
nex[2]=0;
while(t[2+nex[2]]==t[1+nex[2]]) nex[2]++;
for(int i=3,p0=2,r=p0+nex[p0]-1;i<=m;i++){
if(i+nex[i-p0+1]-1<r) nex[i]=nex[i-p0+1];
else{
nex[i]=max(r-i+1,0);
while(t[i+nex[i]]==t[1+nex[i]]) nex[i]++;
p0=i;
r=i+nex[i]-1;
}
}
}
void get_extend(char *s,int n,char *t,int m,int *extend){
static int nex[maxn+5];
get_nex(t,m,nex);
for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",nex[i]);
printf("\n");
extend[1]=0;
while(s[extend[1]+1]==t[extend[1]+1]) extend[1]++;
for(int i=2,p0=1,r=p0+extend[p0]-1;i<=n;i++){
if(i+nex[i-p0+1]-1<r) extend[i]=nex[i-p0+1];
else{
extend[i]=max(r-i+1,0);
while(s[i+extend[i]]==t[1+extend[i]]) extend[i]++;
p0=i;
r=i+extend[i]-1;
}
}
}
int f[maxn+5];
int main(){
// freopen("input.txt","r",stdin);
scanf("%s",s+1);
scanf("%s",t+1);
n=strlen(s+1);
m=strlen(t+1);
get_extend(s,n,t,m,f);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]);
}