matlib’s lsqnonlin 和 scipy.optimize’s least_square
问题
有三个点 $A,B,C$ , 经过一个线性变换 $T$ , 变为了 $A’,B’,C’$ 三点，现在知道 $A,B,C$ , $A’,B’,C’$ 六个点坐标， 求出相应的变换 $T$ ?
matlab
matlab 使用的都是矩阵运算，所以一切在都要化成矩阵形式。直接将问题写成矩阵形式有一些不直观。所以首先将问题写成一些线性方程组的形式，根据线性方程组的形式再写出矩阵的形式。 假设
- 线性方程组的形式 为：
其中前两个一组两个一组，第一个和第二个方程组组成的矩阵形式为：
将六个方程组合并成为：
矩阵的表示形式之后，使用 MATLAB 的程序 lsqnonlin 优化程序得到 $T$ .
lsqnonlin 的输入是要优化的函数句柄和初始参数向量 $X$ ，输出是一个结果向量。注意这里输入和输出都是向量。当要优化的变量是矩阵形式的时候，例如本例子中的 $T$ , 需要人为的将其变为向量作为参数向量传入要被 lsqnonlin 优化的函数，同样，当结果也是矩阵形式时候，也要做类似转换。
针对上面的公式 和 分析 ，得出的 MATLAB 代码如下：
function F = foo(T)
T = reshape(T,3,2);
R = [-2^0.5/2,0,2^0.5 ;
-2^0.5/2+1,0+1,0+1;
1,1,1];
A = [1+3,0+3,-1+3;
0+1,0+1,1+1];
F = reshape(T'*R-A,1,[]); %向量化
% 命令行调用函数
lsqnonlin(@foo,ones(3,2))
ans =
-0.7071 0.7071
-0.7071 -0.7071
3.7071 1.7071
由上面返回的 ans 结果可以得到 $T$ 。
python’s scipy.optimize
scipy 中的数值计算不同于 MATLAB ，是基于元素的 ， 所以我们没必要将线性方程组化为矩阵形式 。 坐标的线性变换为 ，
其中 $x,y$ 可以分别是列向量， 所以假设
则可以写成
为了方便写代码，这里将$T$ 的各个元素的顺序改变了一下。其中 x[:,[1,0]] 是将两列换一下。
所以对应的代码为：
In [9]: def foo1(T):
...:
...: R = np.array([ [-2**0.5/2,0,2**0.5 ],
...: [-2**0.5/2+1,0+1,0+1大专栏 Matlib’s lsqnonlin 和 scipy.optimize’s least_squaren>]]).T
...: A = np.array([ [1+3,0+3,-1+3],
...: [0+1,0+1,1+1]]).T
...:
...: return np.ndarray.flatten(T[:2]*R+T[2:4]*A[:,[1,0]]+T[4:])
...: from scipy.optimize import least_squares as l_s
...: T0 = np.ones(shape=(6,))
...: print(l_s(foo1,T0))
...:
active_mask: array([ 0., 0., 0., 0., 0., 0.])
cost: 6.1972286281607316e-46
fun: array([ -2.62791580e-23, -1.37051771e-24, 4.13590306e-24,
0.00000000e+00, 2.27798139e-23, -3.30872245e-24])
grad: array([ 5.07976927e-23, -3.71013779e-24, 2.34163730e-23,
-1.20995158e-23, 6.36559009e-25, -4.67924016e-24])
jac: array([[-0.70710678, 0. , 1. , 0. , 1. ,
-0. ],
[ 0. , 0.29289322, -0. , 4. , 0. ,
1. ],
[ 0. , 0. , 1. , 0. , 1. ,
-0. ],
[ 0. , 1. , -0. , 3. , 0. ,
1. ],
[ 1.41421356, 0. , 2. , 0. , 1. ,
-0. ],
[ 0. , 1. , -0. , 2. , 0. ,
1. ]])
message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
nfev: 3
njev: 3
optimality: 5.0797692652871677e-23
status: 1
success: True
x: array([ 4.30133919e-23, 6.61744490e-24, -4.21862112e-23,
3.30872245e-24, 4.63221143e-23, -1.65436123e-23])
lsqnonlin 和 least_square 的函数封装方法
对于这两个函数的传入的要优化的函数 ， 该函数的输出是一个向量 ，假设该向量为：
则通过lsqnonlin 和least_square 之后的包裹为：
其中 $c$ 是一个常量。