判断素数的方法（普通篇）

• 不知名的东西： $[1,n]$中的素数大约有 $\frac{n}{\ln n}$个。

背景

• 没有背景。
• 素数是数学中一种十分重要的数字，它的重要性使得它在信息学领域中也有广泛的应用。其中有一种很常见的题目就是：
• “给你一个数 $i$，判断其是否是素数。”

暴力

方法一

• 从素数的定义入手。
• 一个数 $i$为素数当且仅当 $i$的因数只有 $1$和 $i$。
• 因此我们可以从 $2$枚举到 $i-1$，如果 $i \mod 当前枚举的数=0$则说明 $i$的因数不只有 $1$和 $i$，因此可以判断 $i$为合数。反之，如果除去 $1$和 $i$之外的其它数都不可以整除 $i$，则可以判定 $i$为质数。
• 时间复杂度： $O(n)$，其中n为判定的数。

方法二

• 发现对于一个数 $i$，如果 $i=a*b$，则 $a$与 $b$中必然至少有一个数小于等于 $\sqrt{i}$。
• 因此我们可以得出，如果在 $[2,\sqrt{i}]$中找不到 $i$的因数，那么 $[\sqrt{i}+1,i-1]$中必然也不会有 $i$的因数。
• 因此把方法一改进一下，就可以做到 $O(\sqrt{n})$的时间复杂度。

优化

• 有一个与它有关的重要定理：大于等于 $5$的一组素数肯定是 $6x-1$或 $6x+1$的形式，其中 $x$为正整数。
• 证明可以从一个大于3的素数的因数不包含 $2$、 $3$来考虑。
• 设待判定的数为 $i$，我们先判断 $2$， $3$是不是 $i$的真因子，如果是就直接判为合数。
• 否则，则 $i$必含有 $>=5$的质因子，我们枚举 $6x-1$与 $6x+1$即可。
• 这样可以使时间复杂度缩小6倍。（尽管好像没什么卵用）

筛法

• 筛法的不同之处在于，它一般会把所有素数筛出来，因此它的时间复杂度会比较高，但在需要得知 $[1,n]$中的素数时，筛法占有绝对的优势。
• 那些 $O(n^2)、O(n \sqrt{n})$的鬼畜筛，以及 $O(n^\frac{2}{3})$的神仙筛这里并不提及。
• 首先我们要知道，筛法的本质是用一个非 $1$的数把它的倍数（不包含它本身）给筛掉。因为很显然那些倍数绝对是合数。

普通筛

• 先定义一个bool数组 $bz[i]$代表 $i$是不是素数
• 从 $1$到 $n$枚举，然后枚举它的倍数，打上 $false$标记。
• 发现这样子时间复杂度是调和级数，是 $O(nlog_2n)$的。
• 代码大概长这样子：

	memset(bz,true,sizeof(bz));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=2;n/j>=i;j++) bz[i*j]=false;

• 发现memset会耗掉些许时间，也可以写成这样子：

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=2;n/j>=i;j++) bz[i*j]=true;

• 最后 $bz[i]=false$则说明 $i$为素数。

埃氏筛法

• 我们发现一个数可能会被筛很多次，这样太浪费时间了。
• 如果只拿素数去筛它的倍数，这样是否可行呢？
• 答案是：YES。因为一个合数的因数必有至少一个数为素数。所以素数可以筛掉所有的合数。
• 代码：

	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!bz[i]){
			for(int j=2;n/j>=i;j++)
				bz[i*j]=true;
		}

• 可以证明时间复杂度约为 $O(nlog_2{log_2n})$。
• 这样一来 $5e6$如果用一开始的筛法会达到 $1.1*10^8$级别，而埃氏筛法只会达到 $2.2*10^7$级别，如果 $n$达到 $6e6$或 $7e6$级别，优化的效果会更明显。

欧拉筛法（线性筛）

• 看标题就知道时间复杂度…
• 如果一个合数的约数有多个素数，它仍会被筛很多次。
• 考虑优化到极致——一个合数只会被筛一次。
• 我们就让它只会被它的最小质因子给筛掉吧！
• 好像有点难…，先放代码：

	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!bz[i]) pri[++pri[0]]=i;
		for(int j=1;j<=pri[0];j++){
			if(n/pri[j]<i) break;
			bz[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}

• 其中 $pri$表示的是素数的集合。
• 你看罢，大惊曰：“这二重循环怎么看都不像线性的啊！”
• 但有时候眼睛会出差错，我们需要严谨的证明。
• 首先要清楚我们的目的——每个数只会被它的最小质因子给筛掉。
• 欧拉筛最重要的一句话是：

			if(i%pri[j]==0) break;

• 这是个啥东西呢？
• 我们考虑一个合数 $x$= $i*j$，其中 $j$为素数，我们要证明 $i$与 $j$的组合不会被break掉当且仅当 $j$为 $x$的最小质因子。
• 考虑反证法。
• 如果 $j$不是最小质因子，设 $x$的最小质因子为 $k$，则 $i \mod k=0$，因为有上面那条break语句的存在，所以我们第二重循环在枚举到素数 $k$时就会被break掉，根本不会枚举到 $j$。
• 因此一个数只会被筛一次，又因为这个二重循环每一次必然会筛掉一个数，所以时间复杂度是线性的， $O(n)$。
• 悄悄告诉你：之所以看起来不想线性的，是因为它又常数！但不是特别大（2左右）。
• 不过如果你写的有没的话常数是可以缩小的。

总结

• 干嘛要写总结呢？
• 总的来说，素数是一个非常奇妙的东西，如果连一个数是不是素数都不知道…也并不能代表什么，毕竟最近的题目越来越毒瘤了！
• 所以你以为掌握这些方法就够了吗？NO！
• Wilson定理：https://blog.csdn.net/fengqiyuka/article/details/100007632。