Safe Racing （ Gym - 101490K ）

题目

　　https://vjudge.net/problem/Gym-101490K

题意

　　给出圆形赛车跑道长度 L（十米单位），然后要在跑道上建立设施，每两个相邻设施之间不能超过 S 个十米单位，问总方案数。

题解

　　问总方案数以及要模 123456789，可知数据十分巨大，很快可以想到这是一道 DP 题。我们定义 dp【i】为跑道不是圆形且长度为 i 并在 i 位置取 1 时的方案数。sum【i】为 dp【i】的前缀和。

　　由于相邻不能超过 S，所以第一个设施放哪决定了最后面哪几个 dp 数组的值是能够被记录进答案的，而以不同的位置作为起始位置又保证了没有重复计算答案。所以这时候我们考虑不同初始化的情况。

　　初始化 dp【1】 = 1 时，累加答案 sum【L】 -  sum【L - S】。

　　初始化 dp【2】= 1 时，累加答案 sum【L】 -  sum【L - S + 1】。

　　……

　　初始化 dp【S】= 1 时，累加答案 sum【L】-  sum【L - 1】。

　　这样我们就可以……

　　然而还并没有结束，当S够大时，反复重新初始化会使得题目的时间复杂度上升到 O(n^2) 的程度。

　　仔细观察可以发现，初始化 dp【2】 = 1 时，sum【L】-  sum【L - S - 1】 是不是就相当于初始化 dp【1】= 1 时，sum【L - 1】-  sum【L - S】。那么上述式子就转化成了

　　初始化 dp【1】= 1 时，答案就是 ( sum【L】-  sum【L - S】) + ( sum【L - 1】- sum【L - S】) +……+ ( sum【L - S + 1】-  sum【L - S】)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define bep(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define MID (l + r) / 2
#define ls pos*2
#define rs pos*2+1
#define pb push_back
#define ios() ios::sync_with_stdio(0)

using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 123456789;

ll dp[maxn];
ll sum[maxn];

int main() {
    ll n, m;
    cin >> n >> m;
    dp[1] = 1;
    sum[1] = 1;
    rep(i, 2, n) {
        dp[i] = sum[i-1] - sum[max(0ll, i-m-1)];
        sum[i] = sum[i-1] + dp[i];
        dp[i] %= mod;
        sum[i] %= mod;
    }
    ll res = 0;
    bep(i, n, n-m) {
        res += sum[i] - sum[n-m];
        res %= mod;
    }
    if(res < 0) res += mod;
    cout << res << endl;

    return 0;
}