母函数的性质
1、定义
母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数,一般来说母函数有形式:
G(x)=g0+g1x+g2+x2+...=i=0∑∞gixi
=<g0,g1,g2......>2、闭形式
举一个例子,有一个生成函数是
<1,1,1...>,我们尝试对它求和:
<1,1,1...>=1−x1−x∞=1−x1最后一步是因为在
x∈(0,1)时,
x∞趋近于
0,那我们就可以得到一个简洁的表达方法,这就是闭形式。
3、基础操作
- 放缩,即
<cg0,cg1,cg2....>=cG(x)
- 加减法,即
<f0±g0,f1±g1,f2±g2....>=F(x)±G(x)
- 求导,举一个例子,对于
G(x)=1+x+x2....=1−x1求导,
G′(x)=1+2x+3x2...=(1−x)21,这里利用到了对母函数求导等价于对它的闭形式求导。
- 卷积,类比多项式的卷积,这个操作广泛运用于组合数学。
应用
[例一] wyx旅游
题目描述
小明出门旅游,需要带一些食物,包括薯片,巧克力,矿泉水,汉堡,牛奶和糖果。经过估计,他觉得带
n≤10100 件食物比较合适,但他还有一些癖好,问方案数:
- 最多带1个汉堡
- 巧克力的块数是5的倍数
- 最多带4瓶矿泉水
- 薯片的包数是一个偶数
- 最多带3罐牛奶
- 糖果的个数是4的倍数
解法
尝试把这些限制写成母函数的形式:
- 汉堡,
h(x)=1+x
- 巧克力,
c(x)=1+x5+x10......=1−x51
- 矿泉水,
p(x)=1+x+x2+x3+x4=1−x1−x5
- 薯片,
w(x)=1+x2+x4......=1−x21
- 牛奶,
m(x)=1+x1+x2+x3=1−x1−x4
- 糖果,
s(x)=1+x4+x8....=1−x41
把这些多项式乘起来:
(1−x)31=<1,C32,C42......>上式的得出本质上是用插板法解决的不定方程解的个数,所以答案就是
Cn+22=n(n+1)/2
代码略
[例二] 遗忘的集合
例题正在补充,期待van工。
To be continue......
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