图像处理中的局部运算与滤波

在图像处理中，对图像的滤波是非常常见的一种运算，我们耳熟能详的高斯滤波，双边滤波，导向滤波，而所有的这些滤波其实都是基于局部的一种线性运算。

我们知道，几乎所有的滤波或者局部运算都可以表示成如下的这种形式：

$y_{i} = \frac{1}{z} \sum_{j \in \Omega_{i}} w_{j} y_{j}$

其中， $z = \sum w_{j}$，是一个归一化系数，上面这个表达式，也就意味着图像中，像素 $i$ 的值 $y_i$ 等于其邻域 $y_j$ 的一个线性组合， $w_{j}$ 表示的就是邻域像素 $y_{j}$ 的权重，这个表达式是一系列滤波器的基础。

对于高斯滤波来说，其 $w_{j}$ 就是相对位置的一个关系：

$w_{j} = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x_{i} - x_{j})^2}{2\sigma^{2}}}$

为了简化，一般可以假设 $\sigma = 1$, $x_{i}, x_{j}$ 可以看成是像素 $i, j$ 在图像中的坐标，因为高速滤波其实考虑的是像素的相对位置，所以告诉滤波器的权重一般都是固定的，设置好滤波器的尺度，以及 $\sigma$，滤波器可以很快的得到，利用卷积运算，就可以得到一个高斯模糊的运算。除了高斯滤波，还有一个平均滤波，

$w_{j} = \frac{1}{N}$

这种滤波器，表示邻域像素的权重是一样的。

除了高斯滤波，还有一个双边滤波器，双边滤波器，在高斯滤波器的基础上，引入了像素值的考量，

$w_{j} = exp \left({-\frac{(x_{i} - x_{j})^2}{2\sigma_{d}^{2}}} \right) exp \left({-\frac{(y_{i} - y_{j})^2}{2\sigma_{r}^{2}}} \right)$

双边滤波，既考虑了像素的位置关系，也考虑像素值的关系，所以在每个邻域上，其权重值 $w_{j}$ 是不一样的。

除了高斯滤波，双边滤波之外，还有一种 non-local mean 的滤波，与前面两种滤波方式相比，non-local mean 的滤波器的权重计算，考虑的不是像素与像素之间的相似度，而是像素 $i$ 的邻域 $V_{i}$ 和像素 $j$ 的邻域 $V_{j}$ 之间的相似度，利用像素的邻域来计算权重：

$w_{j} = exp \left({-\frac{(V_{i} - V_{j})^2}{2\sigma^{2}}} \right)$

$(V_{i} - V_{j})^2 = \frac{1}{d^{2}} \sum_{l \in [-d, d]} (y_{i+l} - y_{j+l})^2$

$d$ 表示邻域 $V$ 的半径， $d^2$ 也就是邻域的像素个数，邻域 $V_{i}$ 和 $V_{j}$ 的相似度，也就是邻域里对应像素的欧式距离，这里我们看到，理论上来说， $j$ 可以是全图范围内的任何一个像素点，不过在实际计算的时候，一般会设置一个搜索范围，也就是在像素 $i$ 的附近，搜索半径为 $D$ , 所以一般来说，这个 non-local mean 的计算量是比较大的。

最后介绍一下表面模糊，这个在磨皮算法中经常会遇到，表面模糊也是要利用邻域的像素值，根据如下的表达式，计算每个邻域像素的权重：

$w_{j} = 1 - \frac{|y_{i} - y_j{}|}{2.5T}$

上面的 $T$ 表示一个经验阈值。 $T$ 越大，模糊的程度越高。

从上面的表达式可以看出，除了高斯模糊的权重与像素值无关之外，其他几种模糊形式的权重都和像素值有关，所以高斯模糊可以利用卷积快速地运算得到，而其他几种模糊形式都相对来说要慢很多，比较耗时。