数论——整数分解

积性函数：

函数f如果满足对于任意两个互质的正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称f为积性函数（或乘性函数）。如果对于任意两个正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称为完全积性函数。

因数和函数：

费马小定理应用

因数和函数为积性函数，结合费马小定理

试除法

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
void primeFactor(int n){
	//求解n的素因数
	while(n%2==0){
		cout<<2<<" ";
		n/=2;
	}
	for(int i=3;i<=sqrt(n*1.0);i+=2){
		while(n%i==0){
			cout<<i<<" ";
			n/=i;
		}
	}
	if(n>2){
		cout<<n;
	}
	cout<<endl;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	primeFactor(n);
	return 0;
}

筛选法（试除plus）

就是在试除的基础上限定处理范围，提前限定打表减少无关数据

int prime[N];/// 存储素数
int nprime;///记录素数的个数
bool isprime[N];
void make_prime()
{
    int i,j;
    nprime=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=0;
    for(i=2;i<=sqrt(N);i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            nprime++;
            prime[nprime]=i;
            for(j=i*i;j<N;j+=i)
            {
                isprime[j]=0;
            }
        }
    }
}
void divide(int n)
{
    int i,count=0;
    int factor[N];
    int temp=sqrt(n+0.0);
    for(i=1;i<=nprime;i++)
    {
        if(prime[i]>temp)
            break;
        while(n%prime[i]==0)
        {
            count++;
            factor[count]=prime[i];
            n/=prime[i];
        }
    }
    if(n!=1)
    {
        count++;
        factor[count]=n;
    }
}

gcd幂次函数分解

#include<cstdio>
typedef long long LL;


LL gcd(LL a,LL b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

LL pp(LL a,LL m,LL mod)
{
    LL ans=1;
    while(m){
        if(m&1){
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        m>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    LL a,m,n,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&m,&n,&k);
        LL s1=gcd(m,n);
        LL s=(pp(a,s1,k)-1+k)%k;
        printf("%lld\n",s);
    }
    return 0;
}