ACM新手 乘法逆元

简单认识乘法逆元

如果 $ax≡1 (mod p)$,且 $gcd(a,p)=1$（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。
用代码不太恰当的举个栗子：

if(a*x%p==1){ cout<<x<<endl; }

• 费马小定理
  由费马小定理 $a^{p-1}≡ 1 (mod p)$(p为素数)，稍作变形即是 $a*a^{p-2}≡ 1(mod p)$，a^(p-2)即是a的逆元。
• 乘法逆元的作用：a除以一个数模p，等于a乘这个数的乘法逆元模p。

例题：P3811【模板】乘法逆元（luogu）

题目：给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

• 递推计算连续的数的逆元

#include<cstdio>
#define ll long long
const int maxn=3e6+5;
ll inv[maxn]= {0,1};
int main()
{
    int n,p;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    printf("1\n");
    for(int i=2; i<=n; i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p, printf("%d\n", inv[i]);
    return 0;
}

• 解题也可以用费马小定理+快速幂，不过这道题卡时间，会TL。

#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll n, p;
long long PowMod(long long a,ll b)
{
    long long ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &p);
    for(ll i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("%d\n",PowMod(i, p-2));
    }
    return 0;
}