中值定理1----利用罗尔中值定理解题的一般步骤

利用罗尔中值定理解题的一般步骤

$罗尔定理：设f(x)\ \in\ C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则存在\xi\ \in(a,b),使得f'(\xi)=0$

1. 构造辅助函数

   还原法构造辅助函数步骤：

   • 将待证结论中的 $\xi$换成x
   • 想办法构造出 $\frac{f'(x)}{f(x)}+ln\Delta=0$的形式
   • 合并上面的两项得 $[lnf(x)\;\Delta]=0$
   • 取 $ln$里面的表达式作为辅助函数 $\varphi(x)=f(x)\;\Delta$
2. 将区间端点代入至辅助函数即可使用罗尔定理
3. 对辅助函数求导，并结合第2步得出证明结论

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例题： $f(x)\ \in\ C[0,1],在(0,1)内可导,f(1)=0,证明存在\ \xi\ \in(0,1)使得2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$

解：
1° 用还原法构造辅助函数

• 将待证结论中的 $\xi$换成x得：

$2f(x)+xf'(x)=0$

• 两边同除 $xf(x)$即可得到 $\frac{f'(x)}{f(x)}+ln\Delta=0$的形式

$\frac{2}{x}+\frac{f'(x)}{f(x)}=0$

• $让\frac{2}{x}也变成ln的形式，还原为lnx^2,顺便把\frac{f'(x)}{f(x)}也还原成lnf(x),利用公式:lna+lnb=lnab将这两项合并$

$[lnf(x)x^2]'=0$

• 取 $ln$里面的表达式作为辅助函数 $\varphi(x)=f(x)x^2$

2° 将区间端点代入至辅助函数，再使用罗尔定理

$\because \varphi(0)=\varphi(1)=0$
$\therefore\ \ni \xi \in(0,1)使\varphi '(\xi)=0$

3°对辅助函数求导
$\varphi '(x)=2xf(x)+x^2f'(x)\ 整理成要证明的结论的形式 \Longrightarrow x[2f(x)+xf'(x)]$
结合2°可得 $\varphi '(\xi)=\xi[2f(\xi)+\xi f'(\xi)]=0$
$\because \xi \in(0,1) \neq 0$
$\therefore 2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$