高次同余方程 $BSGS$

第一篇$Blog$...

还是决定把$luogu$上的那篇搬过来了。

~~BSGS，又名北上广深~~

它可以用来求$a^x \equiv b (mod \ n)$这个同余方程的一个解，其中$a,n$互质。

欧拉定理告诉我们，这里$a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod \ n)$

由于$a^0 \equiv 1 (mod \ n)$，所以这里$x$到$\varphi(n)$后$a^x \ mod \ n$就开始循环了。

所以我们最坏情况就是$n$为素数时，从$0$到$n-1$枚举$x$就行了。

这样我们就得到了一个$O(n)$复杂度的优秀算法。

然而$n < 2^{31}$......

我们考虑让$x = im - j(0 \le j \le m)$，即把$0...n-1$这$n$个数按每块大小为$m$分块。

就有

\[ a^{im - j} \equiv b (mod \ n) \]

两边同时乘$a^j$得

\[ a^{im} \equiv ba^j (mod \ n) \]

对于等式右边，总共只会有$m+1$种不同的$j$，我们把$ba^0,ba^1,...,ba^m$全塞到一个$map$里,$i$也只会有$\lceil \frac{n}{m} \rceil$种取值，直接暴力。

最后复杂度为$O(m + \lceil\frac{n}{m} \rceil)$

取$m = \lceil \sqrt{n} \rceil$，就可以做到$O(\sqrt{n})$

当然，用$map$的话还要乘上一个$log$。

其实分块的时候$j$取到$m$可能会导致有些$x$被考虑到两次，但并不影响，而且边界还不怎么需要处理。

贴一下Luogu P3846(板子题)的代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int fpow(int a, int b, int c){
    int ret = 1;
    for (a %= c; b; b>>=1, a = 1ll*a*a % c) if (b&1) ret = 1ll * ret * a % c;
    return ret;
}

int BSGS(int a, int b, int n, int &ret) {
    int m = ceil(sqrt(n));
    map<int,int> h;
    for (int i = 0, tmp = b%n; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a%n)
        h[tmp] = i;
    a = fpow(a, m, n);
    for (int tmp = a, i = 1; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a%n)
        if (h.count(tmp)) { ret = 1ll*i*m - h[tmp]; return 1; }
    return 0;
}

int main(){
    int a, b, n, flg, ans; scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
    flg = BSGS(a, b, n, ans);
    if (!flg) puts("no solution"); else printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

还有比较毒瘤的就是如果$a \equiv 0 (mod \ n)$的时候，需要特判$b \not\equiv 0 (mod \ n)$

因为如果$a$是$n$的倍数，那怎么乘都是$0$...

所以板子在这里：

int BSGS(int a, int b, int n, int &ret) {
    a %= n, b %= n;
    if (a == 0) { if (b == 0) { ret = 0; return 1; } else return 0; }
    int m = ceil(sqrt(n)); map<int,int> h;
    for (int tmp = b%n, i = 0; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a % n) h[tmp] = i;
    a = fpow(a, m, n);
    for (int tmp = a%n, i = 1; i <= m; i++, tmp = 1ll*tmp*a % n)
        if (h.count(tmp)) { ret = 1ll*i*m - h[tmp]; return 1; }
    return 0;
}

$ExBSGS$的话。。。改天学吧 ~~感觉也没什么用~~

高次同余方程 $BSGS$

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