深度学习入门笔记（十二）：权重初始化

专栏——深度学习入门笔记

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深度学习入门笔记（十二）：深入理解梯度

1、梯度消失/梯度爆炸

早些时间写过一个博客——深度学习100问之深入理解Vanishing/Exploding Gradient（梯度消失/爆炸），感兴趣的小伙伴可以看一下。

训练神经网络，尤其是深度神经网络所面临的一个问题就是 梯度消失或梯度爆炸，那么什么是 梯度消失或梯度爆炸？

其实就是训练神经网络时，导数或坡度 有时会变得非常大，或者非常小，甚至于以指数方式变小，这加大了训练的难度。下面通过一个例子来详细的讲解：

假设正在训练这样一个 极深 的神经网络，为了简化问题，假设神经网络每层只有两个隐藏单元，但是因为 极深，所以还有很多参数，如 $W^{[1]}$， $W^{[2]}$， $W^{[3]}$ 等等，直到 $W^{[l]}$。为了简单起见，假设使用线性激活函数 $g(z)=z$，同时忽略偏置 $b$，即假设 $b^{[l]}$=0，这样的话，输出：

$y=W^{[l]}W^{[L -1]}W^{[L - 2]}\ldots W^{[3]}W^{[2]}W^{[1]}x$

如果你是数学帕金森患者或者想考验我的数学水平，那么就简单说一下推导过程：

根据前向传播中的公式 $W^{[1]} x = z^{[1]}$，又因为 $b=0$，所以 $z^{[1]} =W^{[1]} x$， $a^{[1]} = g(z^{[1]})$，而由于使用的事线性激活函数 $g(z)=z$，所以第一项 $W^{[1]} x = a^{[1]}$，通过推理。。。得出 $W^{[2]}W^{[1]}x =a^{[2]}$，因为 $a^{[2]} = g(z^{[2]})=g(W^{[2]}a^{[1]})$，第一项 $W^{[1]} x = a^{[1]}$，故可以用 $W^{[1]}x$ 替换 $a^{[1]}$，所以 $a^{[2]}=g(W^{[2]}W^{[1]}x)=W^{[2]}W^{[1]}x$。依次类推，可得 $a^{[l]}=W^{[l]}W^{[L -1]}W^{[L - 2]}\ldots W^{[3]}W^{[2]}W^{[1]}x$。

吴恩达老师手稿如下：

假设每个权重矩阵 $W^{[l]} = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\0 & 1.5 \\\end{bmatrix}$，从技术上来讲，最后一项有不同维度，可能它就是余下的权重矩阵，比如这里就是（None，1），所以根据上面推导的公式，可以得到 $y= W^{[L]}\begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 1.5 \\\end{bmatrix}^{(L -1)}x$。又因为 $\begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 1.5 \\\end{bmatrix} = 1.5 * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{bmatrix}$，是1.5倍的单位矩阵（注意：网络的输出是 $\hat y$ 而不是 $y$），所以计算结果是 $\hat{y}={1.5}^{(L-1)}x$。
 
如果对于一个深度神经网络来说，它的 $L$ 值明显较大，那么 $\hat{y}$ 的值也会非常大。在数学上分析的话，实际上它就是一个指数函数，因此是呈指数级增长的。该函数的增长比率是 $1.5$，其实就是 $1.5^L$，相当于下图中 $a>1$ 的情况，是爆炸式增长的趋势。因此对于一个深度神经网络，输出值将爆炸式增长。

相反的，如果权重是 $0.5$，即 $W^{[l]} = \begin{bmatrix} 0.5& 0 \\ 0 & 0.5 \\ \end{bmatrix}$，这项也就变成了 ${0.5}^{L}$，矩阵 $y= W^{[L]}\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\\end{bmatrix}^{(L - 1)}x$，再次忽略 $W^{[L]}$，因此每个矩阵都小于1，相当于上图中 $0<a<1$ 的情况。现在我们假设 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 都是1，经过激活函数的输出将变成 （ $\frac{1}{2}$， $\frac{1}{2}$），（ $\frac{1}{4}$， $\frac{1}{4}$），（ $\frac{1}{8}$， $\frac{1}{8}$）等等，直到最后一项变成 $\frac{1}{2^{L}}$，也就是指数下降的情况，因为它是与网络层数数量 $L$ 相关的函数， $L$ 越大，经过激活函数的输出越小，甚至接近于0。因此对于一个深度神经网络，输出值将爆炸式减少。

小结一下，直观理解上，分两种情况：

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• 权重 $W​$ 只比1略大一点，可能是 $\begin{bmatrix}0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \\ \end{bmatrix}​$，深度神经网络的激活函数将爆炸式增长；
• 权重 $W​$ 只比1略小一点，可能是 $\begin{bmatrix}1.1 & 0 \\ 0 & 1.1 \\ \end{bmatrix}​$，深度神经网络的激活函数将爆炸式减小。

在深度神经网络中，激活函数与 $L$ 呈指数级增长或呈指数递减，在这样一个深度神经网络中，如果梯度函数也与 $L$ 相关的指数增长或递减，它们的值将会变得极大或极小，从而导致训练难度上升，尤其是梯度指数小于 $L$ 时，梯度下降算法的步长会非常非常小，梯度下降算法将花费很长时间来学习。在很长一段时间内，它曾是训练深度神经网络的阻力，虽然有一个不能彻底解决此问题的解决方案，但是还是有一些方法可以提供帮助。

2、神经网络的权重初始化

针对深度神经网络产生梯度消失和梯度爆炸的问题，我们想出了一个不完整的解决方案，虽然不能彻底解决问题，却很有用，即为神经网络更谨慎地选择随机初始化参数。除此之外，初始化还对模型的收敛速度和性能有着至关重要的影响，因为说白了，神经网络其实就是对权重参数 w 的不停迭代更新，以期达到较好的性能。

那么神经元初始化的方式有哪些？

1_对w随机初始化

目前最常使用的就是随机初始化权重，比如常数初始化、正态分布初始化、均匀分布初始化、截断正态分布初始化、正交矩阵初始化等等。然而这是有弊端的，一旦随机分布选择不当，就会导致网络优化陷入困境，所以很多时候是调参去解决这个问题，避免陷入局部最优，会出现损失函数不收敛等情况。

首先创建了一个10层的神经网络，非线性变换为 tanh，每一层的参数都是随机正态分布。

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out))

随着层数的增加，输出值迅速向0靠拢，在后几层中，几乎所有的输出值 x 都很接近0！根据反向传播算法的链式法则，梯度等于当前函数的梯度乘以后一层的梯度，这意味着输出值是计算梯度的一个乘法因子，输出值接近于0将直接导致梯度很小，使得参数难以被更新。如果把初始值调大一些：W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out))。

几乎所有的值集中在-1或1附近，神经元saturated了！注意到tanh在-1和1附近的梯度都接近0，这同样导致了梯度太小，参数难以被更新。

2_Xavier初始化

论文地址：Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks

Xavier 初始化可以解决上面的问题！其初始化方式也并不复杂，保持输入和输出的方差一致，这样就避免了所有输出值都趋向于0。

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in, node_out)) / np.sqrt(node_in)

不过在应用 RELU 激活函数时：

后面的趋势却是越来越接近0。。。

3_He初始化

论文地址：Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification

He 初始化的思想是：在 ReLU 网络中，假定每一层有一半的神经元被激活，另一半为0，所以，要保持 variance 不变，只需要在 Xavier 的基础上再除以2。

W = tf.Variable(np.random.randn(node_in,node_out)) / np.sqrt(node_in/2)

看起来效果非常好，RELU 激活函数中效果不错。

3、TensorFlow实现权重初始化

1_常量初始化

x = tf.get_variable('x', shape, initializer=tf.constant_initializer(1))

2_正态分布初始化

x = tf.get_variable('x', shape,
    initializer=tf.random_normal_initializer(
        mean=0.0,
        stddev=1.0,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))
y = tf.get_variable('y', shape,
    initializer=tf.truncated_normal_initializer(
        mean=0.0,
        stddev=1.0,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))

3_均匀分布初始化

x = tf.get_variable('x', shape,
    initializer=tf.random_uniform_initializer(
        minval=0,
        maxval=10,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))
# 或
x = tf.get_variable('x', shape,
    initializer=tf.uniform_unit_scaling_initializer(
        factor=1.0,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))

4_截断正态分布初始化

x = tf.get_variable('x', shape,
    initializer=tf.truncated_normal_initializer(
        mean=0.0,
        stddev=1.0,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))

5_正交矩阵初始化

x = tf.get_variable('x', shape,
    initializer=tf.orthogonal_initializer(
        gain=1.0,
        seed=None,
        dtype=tf.float32))

6_Xavier初始化、He_初始化

在上面给出了具体的代码，还有：

tf.glorot_uniform_initializer()
# 或
tf.glorot_normal_initializer()

4、总结

RELU 激活函数初始化推荐使用 He 初始化，tanh 初始化推荐使用 Xavier 初始化。

不过我个人目前用的比较多的是截断正态分布初始化，其他也都有在用，但是提升不是太明显，需要尝试才能确定针对不同问题时是不是能有效的提升，也可能是因为专业不是前端精密行业，还是需要斟酌。

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参考文章

• 吴恩达——《神经网络和深度学习》视频课程
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/25110150