算法分析与设计——NP习题

算法概论 8.3

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题目

STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such a assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

翻译：
STINGY SAT ：给定一组字句(每个字句都是其中变量的析取)和整数 k，求一个最多有 k 个变量为 true 的满足赋值——如果该赋值存在。
证明 STINGY SAT 是 NP-complete(NP完全) 问题。

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思路

若要证明 STINGY SAT 是NP完全问题，则

1. 先需要证明 STINGY SAT 是NP问题。
2. 将 SAT 归约到 STINGY SAT。

这样STINGY SAT就是NP完全问题。

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解决

设SAT 是一个有k个变量的实例f， (f, k)为 STINGY SAT 的一个实例，x 为一组赋值。

1. 证明 STINGY SAT 是NP问题
由于可以在多项式时间内验证 x 是否可以使(f, k)为真，所以 STINGY SAT 是NP问题。

PS：STINGY SAT 问题是 SAT 问题的一个变种，任何一个解都可以在多项式时间内验证，因此 STINGY SAT 是NP问题。

2. 证明 STINGY SAT 是NP完全问题
目标：证明x是f的解当且仅当x是(f, k)的解成立。

(1) x是f的解 => x是(f, k)的解(充分性)
假设x是f的解，则至多有k个变量为true，而此时x赋给(f, k)也为真，因此x是(f, k)的解。

(2) x是(f, k)的解 => x是f的解(必要性)
假设x是(f, k)的解，显然x是f的解。

由(1)(2)可证，STINGY SAT 是NP完全问题。