A. 期望逆序对
考虑两个相邻的区间什么时候交换会更优，显然两个相邻的区间是否交换和其他区间的位置关系还是没有变化，那么就相当于冒泡排序的过程。分析可知按区间中点从小到大排序是最优的。剩下的就是两两枚举区间考虑它们获得逆序对的期望个数。可以发现是等差数列求和。
#include <bits/stdc++.h> const int N = 5e3 + 7; const int MOD = 998244353; struct L { int l, r; bool operator < (const L &p) const { return l + r < p.l + p.r; } } p[N]; int n, inv[N]; int qp(int a, int b = MOD - 2) { int ans = 1; while (b) { if (b & 1) ans = 1LL * ans * a % MOD; a = 1LL * a * a % MOD; b >>= 1; } return ans % MOD; } const int inv2 = qp(2); void M(int &a) { if (a >= MOD) a -= MOD; } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d", &p[i].l, &p[i].r); std::sort(p, p + n); /*for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d %d\n", p[i].l, p[i].r);*/ for (int i = 0; i < n; i++) inv[i] = qp(p[i].r - p[i].l + 1); int ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = i + 1; j < n; j++) { int l = std::max(p[i].l, p[j].l), r = p[i].r; if (r < l) continue; r = std::min(p[i].r, p[j].r); int temp = 1LL * (r - p[j].l + l - p[j].l) * (r - l + 1) / 2 % MOD; M(temp += 1LL * (p[i].r - r) * (p[j].r - p[j].l + 1) % MOD); M(ans += 1LL * temp * inv[i] % MOD * inv[j] % MOD); //printf("%d %d %lld\n", i, j, 1LL * (r - p[j].l + l - p[j].l) * (r - l + 1) / 2 % MOD * all % MOD * inv[i] % MOD * inv[j] % MOD); } printf("%d\n", ans); return 0; }
B. 密码学
倒着模拟即可。
C. 染色图
均分是最优的。
然后就是推推公式整除分块解决。
现有 $n$ 个点，均分成 $i$ 份，那么有 $n \% i$ 份有 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor + 1$ 个点，其他的都只有 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 个点。设 $j=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$
$g(n, i)=\binom{i}{2}j^2+(n \% i)(i-1)j+\binom{n\%i}{2}$
$n \% i = n - ij$
整理之后就可以得到
$g(n,i)=\frac{1}{2}(ij^2+ij-2nj+n^2-n)$
即 $g(n,i)=\frac{1}{2}(i\lfloor \frac{n}{i} \rfloor^2+i\lfloor \frac{n}{i} \rfloor-2n\lfloor \frac{n}{i} \rfloor+n^2-n)$
求前缀和整除分块即可
D. 生成树
基尔霍夫矩阵的推广。把联通性改成边权权值，求出来的就是所有生成树的权值和。
即 $\forall i, j, i \neq j, A[i][j] = -x$ 表示 $i$ 和 $j$ 之间有一条权为 $x$ 为边。
$\forall i,A[i][i]=x$ 表示 $i$ 与其相邻的点之间的边权值和为 $x$。
$B$ 为 $A$ 删去第 $n$ 行第 $n$ 列得到的矩阵，$|B|$ 即为所有生成树的权值和。
这道题中，对于 $G_1$，$G_2$ 中同时出现的边，权值定为 $x$，只在 $G_1$ 中出现的边权值定为 $1$，其余边权值定为 $0$。
得到的基尔霍夫矩阵的行列式是一个 $n-1$ 次的多项式，$f(x)=\sum a_ix^i$，$a_i$ 表示用了 $i$ 条同时出现的边的生成树的数量，那么答案为 $f^{'}(1)=\sum i\times a_i$
矩阵求导法则(不知道哪里来的...)可得
$$f^{'}(1)=|B(1)|\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}B^{'}(1)_{i,j}\times (B(1)^{-1})_{i,j}$$
需要做的就只有求 $B(1)$ 的行列式和逆矩阵，<del> $B^{'}(1)$ 就是每一项对 $x$ 求导后再代入 $1$ </del>。矩阵求导可能有误，但是直接这么写是对的orz...
#include <bits/stdc++.h> const int N = 407; const int MOD = 998244353; int n; char AG[N][N], BG[N][N]; struct Mat { int x, c; } A[N][N]; int B1[N][N], C[N][2 * N]; int qp(int a, int b = MOD - 2) { int ans = 1; while (b) { if (b & 1) ans = 1LL * ans * a % MOD; a = 1LL * a * a % MOD; b >>= 1; } return ans; } void M(int &a) { if (a >= MOD) a -= MOD; if (a < 0) a += MOD; } int Gauss(int a[N][N], int n) { int ans = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { int mx = i; for (int j = i + 1; j <= n; j++) if (a[j][i] > a[i][i]) mx = j; if (mx != i) { std::swap(a[i], a[mx]); ans = -ans; } int inv = qp(a[i][i]); for (int k = i + 1; k <= n; ++k) { int c = 1LL * inv * a[k][i] % MOD; for (int j = i; j <= n; j++) M(a[k][j] -= 1LL * c * a[i][j] % MOD); } ans = 1LL * ans * a[i][i] % MOD; M(ans += MOD); } return ans; } void Minv(int a[N][2 * N], int n) { for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][i + n] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { int mx = i; for (int j = i + 1; j <= n; j++) if (a[j][i] > a[i][i]) mx = j; if (mx != i) std::swap(a[i], a[mx]); int inv = qp(a[i][i]); for (int j = i; j <= 2 * n; j++) a[i][j] = 1LL * a[i][j] * inv % MOD; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (i != j) { int r = a[j][i]; for (int k = i; k <= 2 * n; k++) M(a[j][k] -= 1LL * r * a[i][k] % MOD); } } } } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", AG[i] + 1); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%s", BG[i] + 1); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { if (i == j) continue; if (AG[i][j] == '1') { if (BG[i][j] == '1') { A[i][j].x = -1; A[i][i].x++; } else { A[i][j].c = -1; A[i][i].c++; } } } } for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) B1[i][j] = A[i][j].x + A[i][j].c; int ans = Gauss(B1, n - 1); for (int i = 1; i <= n - 1; i++) for (int j = 1; j <= n - 1; j++) C[i][j] = A[i][j].x + A[i][j].c, B1[i][j] = A[i][j].x; Minv(C, n - 1); int res = 0; for (int i = 1; i <= n - 1; i++) for (int j = 1; j <= n - 1; j++) M(res += 1LL * C[i][j + n - 1] * B1[i][j] % MOD); printf("%lld\n", 1LL * ans * res % MOD); return 0; }
E. 树与路径
记 $A_i$ 表示以 $i$ 为根时的答案，$A_1$ 可以通过求 $\text{lca}$ 快速得到。考虑 $A_i$ 与 $A_{fa_i}$ 的关系。
一条路径如果不同时经过 $i$ 和 $fa_i$ ，那么对 $A_i$ 和 $A_{fa_i}$ 的贡献是一样的。
一条路径 $(u,v)$ 同时经过 $i$ 和 $fa_i$ 时，设路径长度为 $l$ ，$i$ 往下走到路径结尾的长度为 $x$，那么对 $A_i$ 的贡献为 $x(l-x)$，对 $A_{fa_i}$ 的贡献为 $(x+1)(l-x-1)$，那么 $A_{i} - A_{fa_i}=2x-l+1$。
记 $B_i=A_i-A_{fa_i}$，考虑一条路径 $(u,v)$ 考虑一条路径对路径上的点 $i$ 的 $B_i$ 的贡献。对 $u$ 的贡献为 $1-l$，对 $fa_u$ 的贡献为 $3-l$，以此类推可以得到，对路径上的点 $i$ 的 $B_i$ 的贡献为 $-2d_i+1-l+2d_u$，在每个节点处用一个二元组 $(a,b)$ 来表示 $B_i = a\times d_i + b$，那么一条路径就在 $u$ 处加上标记 $(-2,1-l+2d_u)$，在 $v$ 处加上标记 $(-2,1-l+2d_v)$，在其 $\text{lca}$ 处减去标记 $(-4,2-2l+2d_u+2d_v)$。相当于树上差分的做法，dfs 一遍得到 $B$，再 dfs 一遍得到 $A$ 即可。
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define pii pair<int, ll> #define fi first #define se second const int N = 3e5 + 7; struct E { int v, ne; } e[N << 1]; int head[N], cnt = 1, n, m; int fa[N], son[N], dep[N]; int top[N], sz[N]; ll A[N], B[N]; std::pii p[N]; struct Edge { int u, v, lca, len; } edge[N]; void add(int u, int v) { e[++cnt].v = v; e[cnt].ne = head[u]; head[u] = cnt; std::swap(u, v); e[++cnt].v = v; e[cnt].ne = head[u]; head[u] = cnt; } void dfs1(int u, int f) { dep[u] = dep[f] + 1; fa[u] = f; sz[u] = 1; for (int i = head[u]; i; i = e[i].ne) { int v = e[i].v; if (v == f) continue; dfs1(v, u); sz[u] += sz[v]; if (sz[son[u]] < sz[v]) son[u] = v; } } void dfs2(int u, int tp) { top[u] = tp; if (!son[u]) return; dfs2(son[u], tp); for (int i = head[u]; i; i = e[i].ne) { int v = e[i].v; if (v == fa[u] || v == son[u]) continue; dfs2(v, v); } } int Lca(int u, int v) { while (top[u] != top[v]) { if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) std::swap(u, v); u = fa[top[u]]; } if (dep[u] > dep[v]) std::swap(u, v); return u; } std::pii operator + (const std::pii a, const std::pii b) { return std::pii(a.fi + b.fi, a.se + b.se); } void dfs3(int u) { for (int i = head[u]; i; i = e[i].ne) { int v = e[i].v; if (v == fa[u]) continue; dfs3(v); p[u] = p[u] + p[v]; } B[u] = 1LL * p[u].fi * dep[u] + p[u].se; } void dfs4(int u) { if (u != 1) A[u] = A[fa[u]] + B[u]; for (int i = head[u]; i; i = e[i].ne) { int v = e[i].v; if (v == fa[u]) continue; dfs4(v); } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1, u, v; i < n; i++) { scanf("%d%d", &u, &v); add(u, v); } dep[0] = -1; dfs1(1, 0); dfs2(1, 1); for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v); int u = edge[i].u, v = edge[i].v, &lca = edge[i].lca, &len = edge[i].len; lca = Lca(u, v); len = dep[u] + dep[v] - 2 * dep[lca]; A[1] += 1LL * (dep[u] - dep[lca]) * (dep[v] - dep[lca]); p[u].fi -= 2; p[u].se += 1 - len + 2 * dep[u]; p[lca].fi += 2; p[lca].se -= 1 - len + 2 * dep[u]; p[v].fi -= 2; p[v].se += 1 - len + 2 * dep[v]; p[lca].fi += 2; p[lca].se -= 1 - len + 2 * dep[v]; } dfs3(1); dfs4(1); for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", A[i]); return 0; }
F. 乘法
排序，二分答案，check的时候枚举 A 中的元素，就能得到 B 中的元素应该满足的大小关系，可以用桶或者二分得到答案。
G. 圆凸包
显然，圆凸包只能由圆弧及它们之间的公切线形成。那么两两枚举得到公切线，把切点求个凸包，相邻两个点若在同一个圆上，那么它们之间就是一段圆弧，否则就是一条线段，这样得到答案，就能得到一个 "Wrong Answer"。
首先，如果一个切点被另一个圆包含，那么它肯定不能在凸包上，而且这种情况显然能出现。所以求出公切线之后，再枚举一遍所有圆，看看是否被其它圆包含，不包含才能加入要求凸包的点集中。
另外一种情况，如果只有两个圆，并且它们是内含的，使用上述算法将求不到切点，周长求出来也为 $0$。
所以先对圆按半径排序，如果一个小圆被其他大圆包含，则把它删掉。
#include <bits/stdc++.h> #define db double const db eps = 1e-9; const db pi = acos(-1.0); inline int sign(db k) { return k < -eps ? -1 : k > eps; } inline int cmp(db k1, db k2) { return sign(k1 - k2); } struct P { db x, y; P() {} P(db x, db y): x(x), y(y) {} P operator + (const P &p) const { return {x + p.x, y + p.y}; } P operator - (const P &p) const { return {x - p.x, y - p.y}; } P operator * (db k) const { return {x * k, y * k}; } P operator / (db k) const { return {x / k, y / k}; } bool operator < (const P &p) const { int c = cmp(x, p.x); return c ? c == -1 : cmp(y, p.y) == -1; } bool operator == (const P &p) const { return !cmp(x, p.x) && !cmp(y, p.y); } db distTo(const P &p) const { return (*this - p).abs(); } db alpha() { return atan2(y, x); } void read() { scanf("%lf%lf", &x, &y); } void print() { printf("%.10f %.10f\n", x, y); } db abs() { return sqrt(abs2()); } db abs2() { return x * x + y * y; } P rot(const db &k) { return P(x * cos(k) - y * sin(k), x * sin(k) + y * cos(k)); } P rot90() { return P(-y, x); } P unit() { return *this / abs(); } P normal() { return rot90() / abs(); } int quad() const { return sign(y) == 1 || (sign(y) == 0 && sign(x) >= 0); } P getdel() {if (sign(x) == -1 || (sign(x) == 0 && sign(y) == -1)) return (*this) * (-1); else return (*this);} db dot(const P &p) { return x * p.x + y * p.y; } db det(const P &p) { return x * p.y - y * p.x; } }; struct L { // ps[0] -> ps[1] P ps[2]; L() {} L(const P &p0, const P &p1) { ps[0] = p0; ps[1] = p1; } void read() { ps[0].read(); ps[1].read(); } P &operator[](int i) { return ps[i]; } P dir() { return ps[1] - ps[0]; } bool include(const P &p) { return sign((ps[1] - ps[0]).det(p - ps[0])) > 0; } L push() { // push eps outawrd const db Eps = 1e-6; P delta = (ps[1] - ps[0]).normal() * Eps; return {ps[0] - delta, ps[1] - delta}; } }; struct circle { P o; db r; void read() { o.read(); scanf("%lf", &r); } int inside(P k) { return cmp(r, o.distTo(k)); } bool operator < (const circle &k) const { return cmp(r, k.r) == -1; } }; db cross(P p1, P p2, P p3) { return ((p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x) * (p2.y - p1.y)); } int crossOp(P p1, P p2, P p3) { return sign(cross(p1, p2, p3)); } db cross(P p1, P p2) { return p1.x * p2.y - p1.y * p2.x; } // 判断 p1p2 和 q1q2 是否相交 bool chkLL(const P &p1, const P &p2, const P &q1, const P &q2) { db a1 = cross(q1, q2, p1), a2 = -cross(q1, q2, p2); return sign(a1 + a2) != 0; } bool chkLL(L l0, L l1) { return chkLL(l0[0], l0[1], l1[0], l1[1]); } // 直线交点 P isLL(const P &p1, const P &p2, const P &q1, const P &q2) { assert(chkLL(p1, p2, q1, q2)); db a1 = cross(q1, q2, p1), a2 = -cross(q1, q2, p2); return (p1 * a2 + p2 * a1) / (a1 + a2); } P isLL(L l1, L l2) { return isLL(l1[0], l1[1], l2[0], l2[1]); } // 线段相交 bool intersect(db l1, db r1, db l2, db r2) { if (l1 > r1) std::swap(l1, r1); if (l2 > r2) std::swap(l2, r2); return !(cmp(r1, l2) == -1 || cmp(r2, l1) == -1); } bool isSS(const P &p1, const P &p2, const P &q1, const P &q2) { return intersect(p1.x, p2.x, q1.x, q2.x) && intersect(p1.y, p2.y, q1.y, q2.y) && crossOp(p1, p2, q1) * crossOp(p1, p2, q2) <= 0 && crossOp(q1, q2, p1) * crossOp(q1, q2, p2) <= 0; } bool isSS_strict(const P &p1, const P &p2, const P &q1, const P &q2) { return crossOp(p1, p2, q1) * crossOp(p1, p2, q2) < 0 && crossOp(q1, q2, p1) * crossOp(q1, q2, p2) < 0; } bool isSS(L l0, L l1) { return isSS(l0[0], l0[1], l1[0], l1[1]); } bool isSS_strict(L l0, L l1) { return isSS_strict(l0[0], l0[1], l1[0], l1[1]); } // 点在线段上判定 bool isMiddle(db a, db m, db b) { return sign(a - m) == 0 || sign(b - m) == 0 || (a < m != b < m); } bool isMiddle(const P &a, const P &m, const P &b) { return isMiddle(a.x, m.x, b.x) && isMiddle(a.y, m.y, b.y); } bool onSeg(const P &p1, const P &p2, const P &q) { return crossOp(p1, p2, q) == 0 && isMiddle(p1, q, p2); } bool onSeg_strict(const P &p1, const P &p2, const P &q) { return crossOp(p1, p2, q) == 0 && sign((q - p1).dot(p1 - p2)) * sign((q - p2).dot(p1 - p2)) < 0; } // p2 相对于 p0->p1 的位置 int ccw(P p0, P p1, P p2) { int k = crossOp(p0, p1, p2); if (k > 0) return 1; // 逆时针 if (k < 0) return 2; // 顺时针 int dot = sign((p1 - p0).dot(p2 - p0)); if (dot < 0) return 3; // 反向延长线 if (onSeg(p0, p1, p2)) return 5; // 线段上 return 4; // 延长线 } // 投影 P proj(const P &p1, const P &p2, const P &q) { P dir = p2 - p1; return p1 + dir * (dir.dot(q - p1) / dir.abs2()); } // 反射 P reflect(const P &p1, const P &p2, const P &q) { return proj(p1, p2, q) * 2 - q; } // 最近点 db nearest(const P &p1, const P &p2, const P &q) { P h = proj(p1, p2, q); if (isMiddle(p1, h, p2)) return q.distTo(h); return std::min(p1.distTo(q), p2.distTo(q)); } // 线段距离 db disSS(const P &p1, const P &p2, const P &q1, const P &q2) { if (isSS(p1, p2, q1, q2)) return 0; return std::min(std::min(nearest(p1, p2, q1), nearest(p1, p2, q2)), std::min(nearest(q1, q2, p1), nearest(q1, q2, p2))); } // 夹角 db rad(P p1, P p2) { return atan2l(p1.det(p2), p1.dot(p2)); } db incircle(P p1, P p2, P p3) { db A = p1.distTo(p2); db B = p2.distTo(p3); db C = p3.distTo(p1); return sqrtl(A * B * C / (A + B + C)); } // 多边形面积 db area(std::vector<P> ps) { db ans = 0; for (int i = 0, n = ps.size(); i < n; i++) ans += ps[i].det(ps[(i + 1) % n]); return std::fabs(ans / 2); } // 点包含 2: inside 1: onSeg 0: outside int contain(std::vector<P> ps, P p) { int n = ps.size(), ret = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { P u = ps[i], v = ps[(i + 1) % n]; if (onSeg(u, v, p)) return 1; if (cmp(u.y, v.y) <= 0) std::swap(u, v); if (cmp(p.y, u.y) > 0 || cmp(p.y, v.y) <= 0) continue; ret ^= crossOp(p, u, v) > 0; } return ret * 2; } // 凸包 std::vector<P> convexHull(std::vector<P> ps) { int n = ps.size(); if (n <= 1) return ps; std::sort(ps.begin(), ps.end()); std::vector<P> qs(n * 2); int k = 0; for (int i = 0; i < n; qs[k++] = ps[i++]) while (k > 1 && crossOp(qs[k - 2], qs[k - 1], ps[i]) <= 0) --k; for (int i = n - 2, t = k; i >= 0; qs[k++] = ps[i--]) while (k > t && crossOp(qs[k - 2], qs[k - 1], ps[i]) <= 0) --k; qs.resize(k - 1); return qs; } std::vector<P> convexHullNonStrict(std::vector<P> ps) { int n = ps.size(); if (n <= 1) return ps; std::sort(ps.begin(), ps.end()); std::vector<P> qs(n * 2); int k = 0; for (int i = 0; i < n; qs[k++] = ps[i++]) while (k > 1 && crossOp(qs[k - 2], qs[k - 1], ps[i]) < 0) --k; for (int i = n - 2, t = k; i >= 0; qs[k++] = ps[i--]) while (k > t && crossOp(qs[k - 2], qs[k - 1], ps[i]) < 0) --k; qs.resize(k - 1); return qs; } // 点集直径 db convexDiameter(const std::vector<P> &ps) { int n = ps.size(); if (n <= 1) return 0; int is = 0, js = 0; for (int k = 1; k < n; k++) is = ps[k] < ps[is] ? k : is, js = ps[js] < ps[k] ? k : js; int i = is, j = js; db ret = ps[i].distTo(ps[j]); do { if ((ps[(i + 1) % n] - ps[i]).det(ps[(j + 1) % n] - ps[j]) >= 0) (++j) %= n; else (++i) %= n; ret = std::max(ret, ps[i].distTo(ps[j])); } while (i != is || j != js); return ret; } // convecCut std::vector<P> convexCut(const std::vector<P> &ps, const P &q1, const P &q2) { std::vector<P> qs; int n = ps.size(); for (int i = 0; i < n; i++) { P p1 = ps[i], p2 = ps[(i + 1) % n]; int d1 = crossOp(q1, q2, p1), d2 = crossOp(q1, q2, p2); if (d1 >= 0) qs.push_back(p1); if (d1 * d2 < 0) qs.push_back(isLL(p1, p2, q1, q2)); } return qs; } // min_dis sort first db min_dis(std::vector<P> &ps, int l, int r) { if (r - l <= 5) { db ret = 1e5; for (int i = l; i < r; i++) for (int j = l; j < i; j++) ret = std::min(ret, ps[i].distTo(ps[j])); return ret; } int mid = l + r >> 1; db ret = std::min(min_dis(ps, l, mid), min_dis(ps, mid, r)); std::vector<P> qs; for (int i = l; i < r; i++) if (cmp(fabs(ps[i].x - ps[mid].x), ret) <= 0) qs.push_back(ps[i]); std::sort(qs.begin(), qs.end(), [](P a, P b) -> bool { return cmp(a.y, b.y) < 0; }); for (int i = 1; i < qs.size(); i++) for (int j = i - 1; j >= 0 && cmp(qs[j].y, qs[i].y - ret) >= 0; j--) ret = std::min(ret, qs[i].distTo(qs[j])); return ret; } // 圆的关系 int type(circle p, circle q) { P o1 = p.o, o2 = q.o; db r1 = p.r, r2 = q.r; db d = o1.distTo(o2); if (cmp(d, r1 + r2) == 1) return 4; // 相离 if (cmp(d, r1 + r2) == 0) return 3; // 外切 if (cmp(d, fabs(r1 - r2)) == 1) return 2; // 相交 if (cmp(d, fabs(r1 - r2)) == 0) return 1; // 内切 return 0; } int checkposCC(circle k1, circle k2) { // 返回两个圆的公切线数量 if (cmp(k1.r, k2.r) == -1) std::swap(k1, k2); db dis = k1.o.distTo(k2.o); int w1 = cmp(dis, k1.r + k2.r), w2 = cmp(dis, k1.r - k2.r); if (w1 > 0) return 4; if (w1 == 0) return 3; if (w2 > 0) return 2; if (w2 == 0) return 1; return 0; } std::vector<P> getCL(circle k1, P k2, P k3) { // 沿着 k2->k3 方向给出 , 相切给出两个 P k = proj(k2, k3, k1.o); db d = k1.r * k1.r - (k - k1.o).abs2(); if (sign(d) == -1) return {}; P del = (k3 - k2).unit() * sqrt(std::max(0.0, d)); return {k - del, k + del}; } std::vector<P> getCC(circle k1, circle k2) { // 沿圆 k1 逆时针给出 , 相切给出两个 int pd = checkposCC(k1, k2); if (pd == 0 || pd == 4) return {}; db a = (k2.o - k1.o).abs2(), cosA = (k1.r * k1.r + a - k2.r * k2.r) / (2 * k1.r * sqrt(std::max(a, (db)0.0))); db b = k1.r * cosA, c = sqrt(std::max((db)0.0, k1.r * k1.r - b * b)); P k = (k2.o - k1.o).unit(), m = k1.o + k * b, del = k.rot90() * c; return {m - del, m + del}; } std::vector<P> TangentCP(circle k1, P k2) { // 沿圆 k1 逆时针给出 db a = (k2 - k1.o).abs(), b = k1.r * k1.r / a, c = sqrt(std::max((db)0.0, k1.r * k1.r - b * b)); P k = (k2 - k1.o).unit(), m = k1.o + k * b, del = k.rot90() * c; return {m - del, m + del}; } std::vector<L> TangentoutCC(circle k1, circle k2) { int pd = checkposCC(k1, k2); if (pd == 0) return {}; if (pd == 1) {P k = getCC(k1, k2)[0]; return {(L) {k, k}};} if (cmp(k1.r, k2.r) == 0) { P del = (k2.o - k1.o).unit().rot90().getdel(); return {(L){k1.o - del * k1.r, k2.o - del * k2.r}, (L) {k1.o + del*k1.r, k2.o + del*k2.r}}; } else { P p = (k2.o * k1.r - k1.o * k2.r) / (k1.r - k2.r); std::vector<P> A = TangentCP(k1, p), B = TangentCP(k2, p); std::vector<L> ans; for (int i = 0; i < A.size(); i++) ans.push_back((L) {A[i], B[i]}); return ans; } } std::vector<L> TangentinCC(circle k1, circle k2) { int pd = checkposCC(k1, k2); if (pd <= 2) return {}; if (pd == 3) {P k = getCC(k1, k2)[0]; return {(L) {k, k}};} P p = (k2.o * k1.r + k1.o * k2.r) / (k1.r + k2.r); std::vector<P> A = TangentCP(k1, p), B = TangentCP(k2, p); std::vector<L> ans; for (int i = 0; i < A.size(); i++) ans.push_back((L) {A[i], B[i]}); return ans; } std::vector<L> TangentCC(circle k1, circle k2) { int flag = 0; if (k1.r < k2.r) std::swap(k1, k2), flag = 1; std::vector<L> A = TangentoutCC(k1, k2), B = TangentinCC(k1, k2); for (L k : B) A.push_back(k); if (flag) for (L &k : A) std::swap(k[0], k[1]); return A; } db getarea(circle k1, P k2, P k3) { // 圆 k1 与三角形 k2 k3 k1.o 的有向面积交 P k = k1.o; k1.o = k1.o - k; k2 = k2 - k; k3 = k3 - k; int pd1 = k1.inside(k2), pd2 = k1.inside(k3); std::vector<P> A = getCL(k1, k2, k3); if (pd1 >= 0) { if (pd2 >= 0) return cross(k2, k3) / 2; return k1.r * k1.r * rad(A[1], k3) / 2 + cross(k2, A[1]) / 2; } else if (pd2 >= 0) { return k1.r * k1.r * rad(k2, A[0]) / 2 + cross(A[0], k3) / 2; } else { int pd = cmp(k1.r, nearest(k2, k3, k1.o)); if (pd <= 0) return k1.r * k1.r * rad(k2, k3) / 2; return cross(A[0], A[1]) / 2 + k1.r * k1.r * (rad(k2, A[0]) + rad(A[1], k3)) / 2; } } circle getcircle(P k1, P k2, P k3) { db a1 = k2.x - k1.x, b1 = k2.y - k1.y, c1 = (a1 * a1 + b1 * b1) / 2; db a2 = k3.x - k1.x, b2 = k3.y - k1.y, c2 = (a2 * a2 + b2 * b2) / 2; db d = a1 * b2 - a2 * b1; P o = (P) {k1.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d, k1.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d}; return (circle) {o, k1.distTo(o)}; } bool parallel(L l0, L l1) { return sign(l0.dir().det(l1.dir())) == 0; } bool orth(L l0, L l1) { return sign(l0.dir().dot(l1.dir())) == 0; } bool sameDir(L l0, L l1) { return parallel(l0, l1) && sign(l0.dir().dot(l1.dir())) == 1; } bool cmp(P a, P b) { if (a.quad() != b.quad()) { return a.quad() < b.quad(); } else { return sign(a.det(b)) > 0; } } bool operator < (L l0, L l1) { if (sameDir(l0, l1)) { return l1.include(l0[0]); } else { return cmp(l0.dir(), l1.dir()); } } bool check(L u, L v, L w) { return w.include(isLL(u, v)); } const int N = 1e3 + 7; L que[N]; std::vector<L> halfPlaneIS(std::vector<L> &l) { std::sort(l.begin(), l.end()); int head = 0, tail = 0; for (int i = 0; i < l.size(); i++) { if (i && sameDir(l[i], l[i - 1])) continue; while (tail - head > 1 && !check(que[tail - 2], que[tail - 1], l[i])) tail--; while (tail - head > 1 && !check(que[head + 1], que[head], l[i])) head++; que[tail++] = l[i]; } while (tail - head > 2 && !check(que[tail - 2], que[tail - 1], que[0])) tail--; while (tail - head > 2 && !check(que[1], que[0], que[tail - 1])) head++; std::vector<L> ans; for (int i = head; i < tail; i++) ans.push_back(que[i]); return ans; } std::vector<circle> A; std::vector<P> B; int getpos(P p) { int pos = -1; for (int i = 0; i < A.size(); i++) if (A[i].inside(p) == 0) return i; return -1; } void solve() { int n; scanf("%d", &n); A.clear(); B.clear(); for (int i = 0; i < n; i++) { circle p; p.read(); A.push_back(p); } std::sort(A.begin(), A.end()); n = 0; for (int i = 0; i < A.size(); i++) { bool flag = 1; for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (cmp(A[j].o.distTo(A[i].o), A[j].r - A[i].r) <= 0) { flag = 0; break; } } if (flag) A[n++] = A[i]; } A.resize(n); if (n == 1) { printf("%.10f\n", 2 * pi * A[0].r); return; } for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i + 1; j < n; j++) { std::vector<L> ps = TangentCC(A[i], A[j]); for (auto l: ps) { for (int k = 0; k < 2; k++) { bool flag = 1; /*for (int z = 0; z < n; z++) if (A[z].inside(l[k]) == 1) { flag = 0; break; }*/ if (flag) B.push_back(l[k]); } } } } B = convexHull(B); db ans = 0; for (int i = 0; i < B.size(); i++) { P p1 = B[i], p2 = B[(i + 1) % B.size()]; int pos1 = getpos(p1), pos2 = getpos(p2); if (pos1 != pos2) { ans += p1.distTo(p2); continue; } db rad1 = (p1 - A[pos1].o).alpha(), rad2 = (p2 - A[pos1].o).alpha(); if (cmp(rad1, rad2) == 1) rad2 += 2 * pi; ans += (rad2 - rad1) * A[pos1].r; } printf("%.10f\n", ans); } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) solve(); return 0; }
H. 最大公约数
$y$ 必须为 $k$ 的倍数，否则 $\gcd(k,y) = \gcd(\gcd(k,y),y)$
对于 $[1...\lfloor \frac{n}{k} \rfloor]$ 中的所有质数 $p$，$y$ 必须为 $p$ 的倍数，否则 $\gcd(pk,y)=\gcd(k,y)$
所以答案就是 $k\prod \limits_{i=1}^{m} p_i$
I. K小数查询
题解写的树套树，之后和segment tree beats再一起研究研究...
直接分块做，每个块里维护一个排好序的vector用来询问时二分，<del>再用一个数组 $\text{mn}$ 来记录每一块的修改标记，刚开始都是块内的最大值，整块就直接对 $\text{mn}$ 取 $min$</del>，用一个数组维护块内最大值，对块与 $x$ 取 $\min$ 即为最大值变得小于 $x$，打上标记即可。非完整块就暴力 rebuild 。
询问就二分答案，查找每一块里根据块内最大值来得到有多少数比 $mid$ 小，看看加起来是否不小于 $k$。
块大小设为 $\sqrt {n\log n}$ 即可。
#include <bits/stdc++.h> const int N = 1e5 + 7; const int BLOCK = 4e3 + 7; int B, n, m, a[N], mn[BLOCK], belong[N], l[BLOCK], r[BLOCK], num; std::vector<int> vec[BLOCK]; void build() { B = sqrt(n * log2(n)); num = n / B; if (n % B) num++; for (int i = 1; i <= num; i++) { l[i] = (i - 1) * B + 1; r[i] = std::min(i * B, n); for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) { belong[j] = i; vec[i].push_back(a[j]); } std::sort(vec[i].begin(), vec[i].end()); mn[i] = vec[i].back(); } } void rebuild(int pos) { vec[pos].clear(); for (int i = l[pos]; i <= r[pos]; i++) a[i] = std::min(a[i], mn[pos]), vec[pos].push_back(a[i]); std::sort(vec[pos].begin(), vec[pos].end()); mn[pos] = vec[pos].back(); } void update(int x, int y, int v) { int p = belong[x], q = belong[y]; if (p == q) { for (int i = x; i <= y; i++) a[i] = std::min(a[i], v); rebuild(p); return; } for (int i = x; i <= r[p]; i++) a[i] = std::min(a[i], v); rebuild(p); for (int i = l[q]; i <= y; i++) a[i] = std::min(a[i], v); rebuild(q); for (int i = p + 1; i < q; i++) mn[i] = std::min(mn[i], v); } int count(int x, int y, int k) { int p = belong[x], q = belong[y]; if (p == q) { int ans = 0; for (int i = x; i <= y; i++) if (a[i] <= k) ans++; return ans; } int ans = 0; for (int i = x; i <= r[p]; i++) if (a[i] <= k) ans++; for (int i = l[q]; i <= y; i++) if (a[i] <= k) ans++; for (int i = p + 1; i < q; i++) { if (mn[i] <= k) { ans += r[i] - l[i] + 1; continue; } ans += std::upper_bound(vec[i].begin(), vec[i].end(), k) - vec[i].begin(); } return ans; } int query(int x, int y, int k) { int l = 1, r = n, ans = 0; int p = belong[x], q = belong[y]; rebuild(p); if (p != q) rebuild(q); while (l <= r) { int mid = l + r >> 1; if (count(x, y, mid) >= k) ans = mid, r = mid - 1; else l = mid + 1; } return ans; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i); build(); for (int i = 1; i <= m; i++) { int opt, l, r, x; scanf("%d%d%d%d", &opt, &l, &r, &x); if (opt == 1) update(l, r, x); else printf("%d\n", query(l, r, x)); } return 0; }