数论初步讲解时未总结，周日早上刚起感觉有点困，记忆一下。
欧几里德算法：
用于求最大公约数，也可求得最大公倍数，即辗转相除法。
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
例如：设k为a,b的最大公约数
假设 a>b a,b的公约数为k, a=bx+y;
则能推出 a%k==0, b%k==0,a%b==y
由此可得 bx%k==0,(a-bx)%k==0
所以说y%k==0 即 ·a%b%k==0
同理 (b,a%b)的公约数也等于k
int gcd(int a,int b)
{
return b==0? a:gcd(b,a%b);
}扩展欧几里德算法：
根据欧几里得算法：
gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
由于a*x+b*y=gcd(a,b)
所以我们有：
b*x1+(a mod b)*y1=gcd(b,a mod b);
类比之前的等式:
化简得到：
=a*y1+b*(x1-a/b*y1);
所以我们有：
x=y1;
y=x1-a/b*y1;
可以用来求二元一次方程的通解。（可用数学归纳法求证）
即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
那么对二元一次方程 ax+by=m 来说，m是gcd(a,b)的倍数，那么就可以通过递归的方法实现。
gcd(a,b)=g,a'=a/g,b'=b/g;
设a,b,c为任意整数,ax+by=c这个方程的一组整数解，为（x1,y1），那么任意的整数解都可以写成（x1+k*b',y1-k*a'）,k取得任意整数。
附上代码：
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
d=a,x=1,y=0;
}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
//其他写法
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int t=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int temp=y;
y=x-(a/b)*y;
x=temp;
return t;
}
注意求出的x,y只是一组解，通解在上面已经写明。
中国剩余定理：
定理1：两个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
例题：
问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
其实就是求解一次同余式组。
1.求最小公倍数
lcm=3 * 5 * 7=105;
2.求各个数的基础数
（1）105÷3=35
35÷3=11…2 //基础数35
（2）105÷5=21
21÷5=4…1
定理2把（2）的余数扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21 * 3=63//基础数63
3、105÷7=15
15÷7=2…1
定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15 * 2=30//基础数30
3.把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）
35+63+30=128
4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）
x=128-105=23
那么满足题意得最小的数就是23了
中国剩余定理推导自己可以去看看。
附上代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[100],b[100],n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int t=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return t;
}
int solve()
{
int i,j;
int ans=0;
int lcm=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
lcm*=a[i];//因为例题给出的数两两互质，所以直接乘法可以的到LCM
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int temp;
temp=lcm/a[i];
int x,y,g;
g=exgcd(temp,a[i],x,y);//求temp*x+a[i]*y==1解出了x,y的一组解 ,直接相乘b[i]
x=(x%a[i]+a[i])%a[i];//因为扩展欧几里得求出的解可能有很多组，且可能为负，我们这步求出了一个比a[i]小且大于0的解。
ans=(ans+x*temp*b[i])%lcm;
}
return ans;
}
int main()
{
int i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);//ans%a[i]=b[i].
}
int ans=solve();
printf("%d\n",ans);// 例题： 输入3组数 3 2 5 3 7 2 输出 23
}
