散列表分析

许多查询操作的运行时间都是Θ(lgn) , Θ(n)，而直接寻址表和散列表更近一步

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直接寻址表

在直接寻址表中关键字k被存在槽k中

可以看增删改的操作只需要Θ(1)时间内完成，但如果U很大，那么计算机存储这么多不太可能

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散列表

动态散列表

在直接寻址表中关键字k被存在槽h(k)中

h就是散列函数，散列函数缩小了数组下标的大小，但可能发生h(k₁)=h(k₂)的情况，即被函数映射到同一个槽中，这就是冲突，所以散列表的关键点就是解决冲突

解决冲突方法一：链接法（chaining）

一丶链接法性能分析

装载因子：n个元素，m个槽，装载因子就是 α=n/m，也就是一个链的平均存储元素数

散列方法的平均性能依赖于所选取的散列函数h将所有的key分布在槽的均匀程度

接下来我们先分析一下分析的是简单均匀散列
就是给定一个元素等可能的散列到m个槽的任何一个，与其他元素无关，概率均为1/m

最坏情况运行时间，假如n个元素在一个槽

Θ(n)

一次成功所查找所需的平均情况运行时间： Θ(1+α)

1 为计算机散列值，α 为平均情况下需要搜索的链表长度n/m
所以α=O(1) 即 n≤cm ，也就是说槽数需要是元素数的常数倍，才能为 Θ(1)

二丶选择散列函数

给定一个key等可能的散列到m个槽的任何一个（key的分布不影响均匀散列）

1. 除法散列法

h(k)=k mod m

2. 乘法散列表

H是一个哈希函数集合，#XXX：代表XXX的数量
#{h∈H，h(x)=h(y)}≤ #H/m

3. 全域散列(重点)

使用的是不只一个散列函数，每次操作时都是随机选取一个散列函数来进行操作

1. 随机化保证了没有哪一种输入会导致最坏的运行情况。·比如你再h₁函数中，所有的key都被映射到同一个槽中，这是最坏的；但是假如在h₂函数中，可能不是这样的。
2. 即便你每次输入相同的序列算法每一次执行的情况都不同，这样确保了有较好的平均情况性能

全域散列性能分析

使得两个不同key被映射到同一个槽的函数数量最多为：|H|/m，也就是说随机选择一个散列函数，两个不同key被映射到同一个槽的概率：1/m【下面的推理需要用到此结论】

随机从H中选择函数h，现在我们假设n个key已经散列入m个槽中，对于给定的key ：k

1. 若k在表中，则k被散列到其中链表的期望长度≤α=n/m

2. 若k不在表中，则k被散列到其中链表的期望长度＜1+α=1+n/m

原本想用Y_k的所有可能，求概率，直接加权平均算期望，但是没有找到公式来表示概率，所以下面是书上的方法

构造全域散列

注：方法不唯一，这是经典
让槽数为素数m，把全域里面的任意k分解为r+1位即 < k₀,k₁,…,k_r > k_i,k₁,…,k_r就是k的m进制，只不过每一位顺序可以乱
然后随机选取一个 a = < a₀,a₁,…,a_r >

这个函数多大也就是前面说的H多大=m^r+1

我们需要证明下面是全域的【难点】

解决冲突方法二：开放寻址法

所有元素都在散列表中， 没有链
为了插入元素，我们需要连续地检测散列表，称为探测，知道找到一个空槽存放关键字

一丶开放寻址法分析

均匀散列，给定一个装载因子为 α=n/m<1,对于一次不成功的查询，其期望的探查次数至多为1/(1-α)

二丶函数选择

线性探测

h(k.i)=[ h(k,0)+ i ]mod m

容易出现集群

前面的i个槽已被占用，那么下一个被占用的概率是 (i+1)/m,所有连续占用的槽会越来越长，因而平均查找时间也越来越大

双重探测

h(k.i)=[ h₁(k)+ i × h₂(k) ]mod m

两个散列函数h₁和h₂
经常取m=2^r
h₂(k)值取奇数

静态表：完全散列

第一级使用全域哈希