算法——分治法

步骤

分治法的基本步骤是：分解、求解子问题、合并。

下面以快速排序、和归并排序作为正面例子进行说明。
然后以求解最大连续子序列和问题作为反面例子说明——当子问题不独立的时候使用分治法不是最有效的。

快速排序

• 分解： 选取基准元素，将原序列a[s…t]分解成两个子序列a[s…i-1]和a[i+1…t], 其中a[i]是基准元素的位置。
• 求解子问题：若子序列的长度为0或1直接返回，否则递归地解决子问题
• 合并：由于排序过程是就地进行的，所以合并不需要任何操作

可以看出，快速排序的主要操作就是分解，而且这个分解不是像切东西一样去直接把原序列"切成子序列"，而是根据需要对原序列先"洗牌"， 再切。

归并排序

循环 $\lceil log_2n\rceil$次，length依此取 1， 2， …， $log_2n$。

• 分解：将原序列分解成长为length的若干序列
• 求解子问题：由于每轮处理的时候，子序列已经有序了，所以不需要额外处理
• 合并：采用归并算法将相邻序列进行合并。

可以看出，归并排序的主要操作就是合并

最长连续子序列和

对于含有n个整数的序列a[0…n-1]，若n=1，表示该序列仅含一个元素，如果该元素大于0，则返回该元素；否则返回0。

若n>1，采用分治法求解最大连续子序列时，取其中间位置mid=(n-1)/2，该子序列只可能出现3个地方。

• 该子序列完全落在左半部即a[0…mid]中。采用递归求出其最大连续子序列和maxLeftSum。
• 该子序列完全落在右半部即a[mid+1…n-1]中。采用递归求出其最大连续子序列和maxRightSum。
• 该子序列跨越序列a的中部而占据左右两部分
  
  计算maxLeftBorderSum和maxRightBorderSum需要O(n)的时间复杂度。可以计算出总的时间复杂度是O(nlog₂n)。而采用贪心法的时间复杂度是O(n)

原理

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

• 1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
• 2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
• 3） 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
• 4） 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。