《强化学习》中的时序差分控制：Sarsa、Q-learning、期望Sarsa、双Q学习 etc.

前言： 学习了 Sutton 的《强化学习（第二版）》第6章时序差分学习的控制部分，将笔记提炼如下。

笔者阅读的是中文书籍，所提到的公式，笔者将给出其在英文书籍上的页码。英文书籍见 Sutton 个人主页：
http://incompleteideas.net/book/the-book.html

本次笔记内容：

• 6.4 Sarsa：同轨策略下的时序差分控制
• 6.5 Q 学习：离轨策略下的时序差分控制
• 6.6 期望 Sarsa
• 6.7 最大化偏差与双学习
• 6.8 游戏、后位状态和其他特殊例子
• 6.9 本章小结

在上一次笔记中，我们讨论了 动态规划（ Dynamic Programming, DP ）、蒙特卡洛方法（ Monte Carlo Method, MC ）与时序差分学习（ Temporal Difference Learning, TD ）的异同，以及时序差分学习中的预测算法。本次笔记中我们讨论其控制部分算法，其概述如下。

• Sarsa 是同轨策略下的时序差分控制，；
• Q-learning 是离轨策略下的时序差分控制；
• 期望 Sarsa 的表现比上述二者表现都更好（ van Hasselt, 2011），并且被称为“广义 Q 学习”；
• 然而，单纯的最大化操作带来了“最大化偏差”，因此我们提出“双学习”来消除“最大化偏差”；
• 此外，我们还引出了如“后位状态”的概念，没有具体讨论。

书中展示了4段实例， Zhang 都有相应代码进行实现，分别介绍如下知识点：

• 有风的网格世界（Example 6.5: Windy Gridworld）介绍 Sarsa 的性能；
• 在悬崖边行走（Example 6.6: Cliff Walking）对比了基于 $\epsilon$-贪心方法的 Sarsa 与 Q-learning 的控制效果；
• 接着，在介绍 期望 Sarsa 时也使用了 Cliff Walking 实例对其效果进行展示；
• 最大化偏差实例（Example 6.7: Maximization Bias Example）用于表达：双 Q 学习优于 Q 学习。

我对其代码进行了标注，请见https://github.com/PiperLiu/Reinforcement-Learning-practice-zh/blob/master/practice/05-02-Temporal-Difference-Control.ipynb。并且，我还由代码及实验结果，复述了我对于书上提出的算法对比特性的理解。

Sarsa

基于同轨策略，其更新公式为：

$Q(S_t,A_t) \leftarrow Q(S_t,A_t) + \alpha [ R_{t+1} + \gamma Q( S_{t+1}, A_{t+1} ) - Q_(S_t , A_t ) ]$

可以看出与之前“时序差分预测”中的价值预测公式很像。

如果 $S_{t+1}$ 是终止状态，那么 $Q( S_{t+1}, A_{t+1}$则定义为0。这个公式用到了元组 $(S_t,A_t,R_{t+1},S_{t+1},A_{t+1})$，因此该算法命名为 Sarsa 。

Sarsa 想要以1的概率收敛到最优的策略和动作价值函数，需要满足2个条件：

1. 所有的“状态-动作”二元组都被无限多次访问到；
2. 贪心策略在极限情况下能够收敛（收敛过程可以通过令 $\epsilon = 1/t$ 来实现）。

算法框架中，每幕中的每步都要更新 Q ，不具体展示框架了，可见书第6章。

Q-learning

更新公式为：

$Q(S_t,A_t) \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \max_a Q(S_{t+1}, a) - Q(S_t, A_t)]$

只是变了个更新公式而已，连算法框图都没变，为什么说 Q-learning 是离轨策略呢？

• 书上的解释：In this case, the learned action-value function, Q, directly approximates q*, the optimal action-value function, independent of the policy being followed.
• 我的理解：在公式中用于更新的动作为 $\argmax_a Q(S' , a)$ ，而下一步却未必是 $\argmax_a Q(S' , a)$ ，因此为离轨策略。

我的理解方式没有错，并且，这个理解会辅助对于“最大化偏差”部分的学习。

期望 Sarsa

$\begin{aligned} Q(S_t, A_t) & \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \mathbb{E}[ Q(S_{t+1}, A_{t+1}) | S_{t+1}] - Q(S_t, A_t)]\\ & \leftarrow Q(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma \sum_a \pi(a | S_{t+1}) Q(S_{t+1},a) - Q(S_t, A_t)]\\ \end{aligned}$

虽然计算上更为复杂，但它消除了 Sarsa 中因为随机选择 $A_{t+1}$ 而带来的方差。并且，对于 cliff walking 中的情况，期望 Sarsa 将保持 Sarsa 相对于 Q-learning 的“能学到迂回策略”的优势。

最大化偏差与双学习

最大化偏差

上述算法中，通常是基于 $\epsilon-$贪心 来产生策略的，这其中都用到了“最大化操作”。

但是，如果在估计值的基础上进行最大化操作，就是隐式地对最大值进行估计，而这就会产生一个显著的正偏差。例子如下。

如图的MDP，A为起点，做动作 left ，则0收益；做动作 right ，之后获得的收益服从 正态分布 N(-0.1, 1)。

我们知道最优策略应该是 100% 做动作 left 。

但是，如果使用了最大化操作，动作 right 的估计值是不确定的，有些可能大于0，则估计值的最大值就产生了正数，就产生了正偏差。就是最大化偏差。

双学习

双学习可以消除最大化偏差。双学习使用了2倍的内存，但计算量无需双倍。

以双Q学习为例：

使用 $Q1$ 来估计 $A^* = \argmax_a Q_1(a)$ ，而 $Q_2$ 负责估计 $Q_2(A^*) = Q_2(\argmax_a Q_1 (a))$ ，由于 $\mathbb{E} [Q_2 (A^*)] = q(A^*)$ ，因此这个估计是无偏的。

即更新公式换为：

$\begin{aligned} & With \; 0.5 \; probabilility: \\ & \quad Q_1(S_t,A_t) \leftarrow Q_1(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma Q_2(S_{t+1}, \argmax_a Q_1(S_{t+1}, a)) - Q_1(S_t, A_t)] \\ & else: \\ & \quad Q_2(S_t,A_t) \leftarrow Q_2(S_t, A_t) + \alpha [R_{t+1} + \gamma Q_1(S_{t+1}, \argmax_a Q_2(S_{t+1}, a)) - Q_2(S_t, A_t)] \\ \end{aligned}$

后位状态

后位状态我读了两遍，差不多明白了其意思：类似下棋的游戏中，可以由不同的状态，经过不同的动作，达到同一状态（棋盘摆放位置同），我们叫这个为后位状态。在这种情况中，后位状态显然更为重要。这很有趣，应该找些实例继续了解。

Van Roy, Bertsekas, Lee, Tsitsiklis, 1997; Powell, 2011 对其进行了研究。