数论函数前缀和合集

01 - \(\sum\limits_{i=1}^{n} [gcd(i,m)=1]\)

索引：n以内与m互质的数的个数

求：\(\sum\limits_{i=1}^{n} [gcd(i,m)=1]\)

1. 由 \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 得
   \(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{d|gcd(i,m)}\mu(d)\)
2. 交换求和顺序，得
   \(\sum\limits_{d|m}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)
3. 注意到当d有平方因子的时候 \(\mu(d)=0\) ，那么求出 \(m\) 的所有的质因子然后容斥（其实莫比乌斯函数本身就代表容斥）
4. 64位整数范围内的质因子不到20种，容斥的复杂度不超过1e6单次。

当n与m相等时， \(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} [gcd(i,n)=1]\) ，为欧拉函数的定义。所以可以得到 \(\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\) 即 \(\frac{\varphi(n)}{n}=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\)