2020牛客寒假算法基础集训营1——A.honoka和格点三角形【计数】

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题目描述

honoka最近在研究三角形计数问题。
她认为，满足以下三个条件的三角形是“好三角形”。

1. 三角形的三个顶点均为格点，即横坐标和纵坐标均为整数。
2. 三角形的面积为 。
3. 三角形至少有一条边和 轴或 轴平行。
   honoka想知道，在平面中选取一个大小为 的矩形格点阵，可以找到多少个不同的“好三角形”？由于答案可能过大，请对 取模。

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输入描述:

两个正整数和 $（ 2\ ≤n,m≤10^9）$

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输出描述:

面积为1的格点三角形的数量，对 $10^9+7$ 取模的结果。

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输入

2 3
100 100

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输出

6
7683984

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说明

• 格点如下：
  * * *
  * * *
• 不妨设左下角坐标为(1,1)，右上角坐标为到(3,2)。
  那么三点坐标可选：
  （1，1）（1，2）（3，1）
  （1，1）（1，2）（3，2）
  （1，1）（2，2）（3，1）
  （1，1）（3，1）（3，2）
  （1，2）（2，1）（3，2）
  （1，2）（3，1）（3，2）
  所以共有6个。

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题解

• 可以把面积为 $1$ 的“好三角形”分为两类分开统计：两条边和两个坐标轴平行；只有一条边和某个坐标轴平行。
  对于第一种情况，一定是 $1*2$ 或者 $2*1$ 的形式，一个 $1*2$ 的矩形中含有 $4$ 个不同的三角形。总数是 $4*((n-2)*(m-1)+(m-2)*(n-1))$
• 对于第二种情况，可以分别统计底边为 $2$ 、高为 $1$ 和底边为 $1$ 、高为 $2$ 的情况。要注意底边靠近边界时的特殊讨论。
  • ①对于底边为 $2$，高为 $1$ 的情况：
    若底边和 $x$ 轴平行，那么底边横向移动（指 $x$ 轴水平移动，下同）有 $n-2$ 种可能，“对点”（指底边相对的点）的某一面选择有 $n-2$ 种可能（某一面选择，指的是底边固定的情况，对点在一条直线上移动所做出的选择），而底边纵向移动有 $m$ 种情况，其中有 $(m−2)$ 种情况对点可以选择两个面， $2$ 种情况对点只能选择一个面（当底边移动到格点阵边界的时候）。因此纵向移动折合为 $2*(m-2)+2$ ，即 $2*(m-1)$
    以上可计算为 $2*(m-1)*(n-2)*(n-2)$
    若底边和 $y$ 轴平行，同理可推出 $2*(n-1)*(m-2)*(m-2)$
    
  • ②对于底边为 $1$，高为 $2$ 的情况，推理方法和上面类似，请选手们自行推理。
• $参考cf难度分：1500$
• $最后得到三类分别为：$
  $ll$ $ans1 = 4 * ((n - 2) * (m - 1) + (m - 2) * (n - 1));$
  $ll$ $ans2 = 2 * (m - 1) * (n - 2) * (n - 2) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2 * (n - 1) * (m - 2) * (m - 2);$
  $ll$ $ans3 = (n - 1) * (n - 2) * (2 * (m - 4) + 4) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + (m - 1) * (m - 2) * (2 * (n - 4) + 4);$

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const ll M = 1e9 + 7;
ll ans = 0, n, m;
int main() {
	cin >> n >> m;
	ans += (((2 * m * n - 3 * n - 3 * m + 4) % M) * ((2 * m + 2 * n - 4) % M)) % M;
	cout << ans;
}