Problem C. Increasing Shortest Path【贪心 & 最短路->DP】

---

题意

• 给一个图， $n$ 个点 $m$ 条边， $q$ 次询问，求从 $i$ 到 $j$ 的走过条数不超过 $c$ 的最短路的长度，走路的时候过的边的长度必须是不减的

• 数据范围： $150$ 点， $3000$ 边， $1000$ 次询问，时间要求 $30$ 秒

---

题解

• 定义 $dp[i][j][k]$ 为从 $i$ 到 $j$ ，恰好走 $k$ 次路的最短距离。
• 由于我们要满足路径边权递增，所以会想到给所有边按照边权排个序。然后我们依次将边加入图中，这样就可以保证路径边权是递增的。
• 我们会注意到，由于任意两个点间的路径不能存在环（路径边权递增），所以任意两个点之间的距离至多为 $n-1$ ，这样我们就把 $c$ 减小为 $n-1$ 了！

---

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxm = 3e3 + 5;
const int maxn = 150 + 3;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Edge {
	int x, y, w;
	bool operator < (const Edge &t) const {
		return w < t.w;
	}
}edge[maxm];

int dp[maxn][maxn][maxn];

void update(int& a, int b) {
	if (a == -1 || b < a)	a = b; // 如果无法到达，或者b更优，更新
}

int main() {
	int T;	cin >> T;
	while (T--) {
		int N, M, Q;	cin >> N >> M >> Q;
		memset(dp, -1, sizeof dp);
		for (int i = 0; i <= N; ++i)	dp[i][i][0] = 0;
		for (int i = 1; i <= M; ++i) 
			cin >> edge[i].x >> edge[i].y >> edge[i].w;
		sort(edge + 1, edge + 1 + M);
		for (int i = 1; i <= M; ++i)  // 升序枚举所有边
			for (int start = 1; start <= N; ++start)  // 枚举起点
				for (int step = 1; step < N; ++step)  // 枚举步数
					if (dp[start][edge[i].x][step - 1] != -1)  // 如果可以从start到达这条边的起点
						update(dp[start][edge[i].y][step], dp[start][edge[i].x][step - 1] + edge[i].w); // 尝试走这条边到达edge[i].y
		for (int i = 0; i < Q; ++i) {
			int x, y, c;	cin >> x >> y >> c;
			if (c >= N)	c = N - 1; // 
			int ans = -1;
			for (int j = 0; j <= c; ++j) 
				if (dp[x][y][j] != -1)	update(ans, dp[x][y][j]);
			cout << ans << endl;
		}
	}
	return 0;
}