今天谈一谈自适应辛普森积分法
积分定义不多说了
那辛普森积分法是干什么的呢?
我们想求\(\displaystyle \int _{a}^{b}\displaystyle f(x)dx\)
首先假设你现在并不会直接求积分,我们只能求个近似值
那求近似值方法就多了,我们可以近似成矩形和,梯形和
但是这些不是时间复杂度太高,就是精度太低
我们想为什么用矩形,梯形逼近曲线时存在较大误差,显然用直线逼近曲线不是很靠谱
我们就想到使用曲线逼近曲线
为了是表达简单我们选择的曲线是二次函数
当然这也不是最好的方法,但他在实际运行效果还是不错的
更好的逼近方式是牛顿-科特斯公式什么的,由于我也不会,暂时不说了
设\(f(x)\approx Ax^2+Bx+C\)
\(=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \displaystyle \int _{a}^{b}Ax^2+Bx+C\)
\(=\displaystyle \int _{a}^{b}Ax^2+\displaystyle \int _{a}^{b}Bx+\displaystyle \int _{a}^{b}C\)
\(=\displaystyle \frac{A}{3}x^3+\frac{B}{2}x^2+Cx\displaystyle|_{a}^{b}\)
\(=\frac{(a-b)}{6}(2{A}(a^2+ab+b^2)+3{B}(a+b)+6C)\)
\(=\frac{(a-b)}{6}(({A}a^2+{B}a+C)+({A}b^2+{B}b+C)+4((\frac{a+b}{2})^2+(\frac{a+b}{2})+C))\)
\(=\frac{(a-b)}{6}(f(a)+f(b)+4*f(\frac{a+b}{2}))\)
于是得出最终结论\(\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\)\(\approx\)\(\frac{(a-b)}{6}(f(a)+f(b)+4*f(\frac{a+b}{2}))\)
当然光这么算精度差太多
我们边从中点将\([a,b]\)分成\([a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]\)
类似分治
当精度够了,也就是说\(\displaystyle \int _{a}^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx\)\(+\)\(\displaystyle \int ^{b}_{\frac{a+b}{2}}f(x)dx - \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx <eps\)时便停止递归
\(Code\)
//f(x) 为原函数
inline db gral(db l,db r)//integrab 积分
{
return (r-l)/6.0*(f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2.0));
}
inline db sim(db l,db r)
{
db mid=(l+r)/2.0;
db lv=gral(l,mid),rv=gral(mid,r),v=gral(l,r);
if(fabs(lv+rv-v)<eps) return lv+rv;
return sim(l,mid)+sim(mid,r);
}
自适应辛普森积分也算说完了