角谱理论、模式理论及三维傅里叶变换

序：
感觉三者在一定程度上有相似性，故将其整理至此文

瞬态声波方程与稳态声波方程

• 瞬态声波方程
  概念：描述时域空间域（波动方程）
  $\nabla^2 p=\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2}$
• 稳态声波方程
  概念：描述频域空间域（亥姆霍兹方程）
  $\nabla^2 P+k^2P=0$
• 瞬态与稳态的关系
  通过傅里叶变换联结（稳态声波方程假设声压单频简谐变化，声波方程化简为亥姆霍兹方程，而通过傅里叶变化可以将一个非周期的时域信号分解成不同频率的简谐信号的叠加）
  $p(\vec{r},t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} P(\vec{r},\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega=\mathscr{F}^{-1}[P(\vec{r},\omega)]$

角谱理论

概述：将一般的稳态声场表示为平面波的叠加
$P(\vec{r})=\iint A(\vec{k})e^{j\vec{k}\cdot \vec{r}} {\rm d} \vec{k}$
其中 $\vec{k}$为波矢，代表平面波传播的方向，且 $|\vec{k}|=\frac{\omega}{c_0}$，即所有频率相同但传播方向不同的平面波的叠加。（注：积分时只需要积两个变量即可，因为方向仅需两个变量即可表示，不需要径长）
$P(\vec{r})=\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d} k_x \int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d} k_y A(\vec{k})e^{j(k_xx+k_yy+k_zz)}$
分析：
物理意义与傅里叶变换类似，将空间域变换到波矢域，对传播方向不同但频率相同的平面波分别分析，然后再叠加。

模式理论

分析无限空间中声波的模式理论，设给定时刻的声压为 $p(\vec{r})$，稳态振动的复振幅为 $P(\vec{r})$，稳态波动方程的解即为各个模式，称其为振型（可理解为模式的振幅）：
$P^{(k)}(\vec{r})=(\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{j\vec{k}\cdot \vec{r}}=(\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{j(k_xx+k_yy+k_zz)}$
其对应的共振频率是：
$\omega^{(k)}=c_0|\vec{k}|$
1.任意的正实数都可以是共振频率，无限大空间的声场的谱是连续谱。（这里说的是波矢域吗？）
2.每个共振频率对应有无数个不同的波矢，他们的模相等，此时不同的振型代表不同传播方向的平面波。
故 $\vec{k}$模式即为：
$P^{(k)}(\vec{r})e^{-j\omega^{(k)}t}=(\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{j(\vec{k}\cdot \vec{r}-c_0|\vec{k}|t)}$
可以证明：不同振型满足正交归一性

三维傅里叶变换

在全空间满足一定条件的函数 $p(\vec{r})$可以表示成三维傅里叶变换：
$p(\vec{r})=\iiint a(\vec{k})(\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{j\vec{k}\cdot \vec{r}} {\rm d} \vec{k}=\iiint a(\vec{k})P^{(k)}(\vec{r}) {\rm d}\vec{k}$
物理意义：将空间域 $\vec{r}$和波矢域 $\vec{k}$建立联系，式中 $a(\vec{k})$是各个振型的系数，不同的 $a(\vec{k})$组成了一个线性的函数空间
记空间的三维傅里叶变换为 $\mathcal{T}$（实在找不到书上的那个符号。。。）
$\mathcal{T}=\iiint {\rm d} \vec{k} (\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{j\vec{k}\cdot \vec{r}}=\iiint {\rm d}\vec{k} P^{(k)}(\vec{r})$
$\mathcal{T}^{-1}=\iiint {\rm d} \vec{k} (\frac{1}{2\pi})^{\frac{3}{2}}e^{-j\vec{k}\cdot \vec{r}}=\iiint {\rm d}\vec{k} [P^{(k)}(\vec{r})]^{*}$
将瞬态声场 $p(\vec{r},t)$和稳态声场 $P(\vec{r},\omega)$用简正坐标表示：
$p(\vec{r},t)=\mathcal{T}[a(\vec{k},t)]$
$P(\vec{r},\omega)=\mathcal{T}[A(\vec{k},\omega)]$
$p(\vec{r},t)= \mathscr{F}^{-1}[\mathcal{T}[A(\vec{k},\omega)]]$
总结：物理坐标和简正坐标都能确定声场，瞬态和稳态的物理坐标 $p(\vec{r},t)$和 $P(\vec{r},\omega)$分别在时间空间域和频率空间域描述声场。瞬态和稳态的简正坐标 $a(\vec{k},t)$和 $A(\vec{k},\omega)$分别在时间波矢域和频率波矢域描述声场。

注意：
1.在做稳态声场的三维傅里叶变换时，由于简正坐标 $A(\vec{k},\omega)$的波矢和频率满足关系 $\omega=c_0|\vec{k}|$，故三重积分退化成二重积分，此时的三维傅里叶变换就是角谱理论。
2.角谱理论的应用（此时声场形状不规则，难以通过坐标分离求得声场解析式）：

1. 将声场（待求）通过角谱理论分解成一系列传播方向不同的平面波，从空间域 $\vec{r}$变换到波矢域 $\vec{k}$
2. 将边界条件也通过角谱理论分解，从空间域 $\vec{r}$变换到波矢域 $\vec{k}$
3. 此时，每一束平面波（每一个模式 $\vec{k}$）都有其在波矢域对应的边界条件，代入后即可求得每一束平面波的表达式
4. 利用角谱理论叠加即可得到声场的表达式

Reference：
张海澜.理论声学[M].北京:高等教育出版社,2012.
徐佳新.二维阵列换能器声辐射力分布的计算分析[J].声学技术.2018(4).398-403