题意简述
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维护一个长度为 \(n\) 的数组 \(a[]\)，支持两个操作:
- 对 \(i \in [l,r]\) ，进行替换 \(a[i] \gets c^{a[i]}\)
- 求 \(\sum\limits_{i=l}^r a[i]\) \((mod\) \(P)\)
其中 \(c,P\) 为给定常数。
共操作 \(m\) 次。
\(n,m\leq 50000,P \leq 10^8\)
想法
看到 \(c^{a[i]}\%P\) 可以想到扩展欧拉定理：
\[ \begin{equation*} c^x\equiv \begin{cases} c^x\ (mod\ P)& x<\varphi(P)\\ c^{x\%\varphi(P)+\varphi(P)}\ (mod\ P)& x \geq \varphi(P) \end{cases} \end{equation*} \]
递推一下有：
\(c^{c^x}\equiv c^{\varphi(P)+c^x\% P} \equiv c^{\varphi(P)+c^{\varphi(\varphi(P))+x\%\varphi(\varphi(P))}\% \varphi(P)}\)
指数上的 \(\varphi(\varphi(\varphi(...)))\) 在经过 \(\Theta(log_2 P)\) 后就会恒定为 1
（证明：若 \(P\) 为偶数，则 \(\varphi(P)\leq P/2\) ；若 \(P\) 为奇数，则 \(\varphi(P)\) 为偶数）
由此可知，对每个 \(a[i]\)，操作1执行 \(\Theta(log_2 P)\) 遍后其值就恒定不变了。
可以预处理出第二次 \(\varphi(\varphi(\varphi(...)))=1\) 时 \(\varphi()\) 的个数 \(w\)。
（为何是第二次？见大佬博客）
建立线段树，每个节点记录 \(sum\) 与它所对应区间中每个值是否都修改过 \(w\) 次以上（即是否都已恒定不变）。
询问操作就是常规求和。
暴力进行修改操作，若某节点中所有值都恒定不变则不用再修改。
对于需要修改的叶子节点，通过扩展欧拉定理计算修改后的值。
这样的话找到待修改的点的复杂度为 \(O(nlogn)\) ，修改的复杂度是 \(O(log^2n)\) (快速幂需要 \(O(logn)\))
总复杂度是 \(O(log^3n)\) ，可能会超时。
考虑优化快速幂。
发现我们要计算的底数都是 \(c\) ，于是用类似大步小步法优化。
假设我们要算的是 \(c^x\ (\mod P)\) ，令 \(s=\sqrt{P},x=p\times s+r,\ p,r<P\)，则 \(c^x=(c^s)^p\times c^r\)
预处理出 \(c^s\) 的幂与 \(c\) 的幂即可。
最后注意一大堆乱七八糟的细节。
总结
技巧
像不断开方或此题这种奇怪的不好维护的操作，可以思考会不会很少的修改次数内成为定值，这样就可以暴力修改。
类大步小步法优化同底数快速幂。
对扩展欧拉定理的应用：判断指数与 \(\varphi(P)\) 大小要在各种有取模操作的位置判断。
引用 \(Sengxian\) 大佬之言：指数循环节公式只在 \(x\geq \varphi(n)\) 时成立，在 \(UVa 10692\) 中，用试乘来判断是否 \(\geq \varphi(n)\)，我们在试乘的时候，是以上一层返回的取模后结果作为幂试乘，这样并不准确，应该使用上一层的答案进行试乘。但是放心，经过验证，这样做没有任何问题。因为如果 \(x\ge \varphi(n)\)，那么 \(a^x\geq n\) 只在 \(n = 6\) 时不成立，经过验证，这个带来的一系列后续影响不会造成答案的错误，所以大可放心使用。
误区
\(a^{b^c}=a^{(b^c)}\neq (a^b)^c=a^{bc}\)
扩展欧拉定理 \(c^x\equiv c^{x\%\varphi(P)+\varphi(P)}\ (mod\ P)\) 的使用条件是 \(x \geq \varphi(P)\) ！
并不是普适！要注意判断是否要加上 \(\varphi(P)\)
手残
线段树建树到叶子节点时，不要弄混改点的存储位置与它代表的有实际意义的点的坐标（\(x\) 与 \(l\)）。
暴力找质因子是边界条件为 \(i\times i \leq x\) ，别忘了可取等！
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x;
}
const int N = 50005;
int n,m,P,c,a[N],w;
int phi[36],mul[20005][36],bml[20005][36],is[20005][36],bis[200005][36];
int getphi(int x){
int y=x,ret=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++) /**/
if(y%i==0){
ret=ret/i*(i-1);
while(y%i==0) y/=i;
}
if(y!=1) ret=ret/y*(y-1);
return ret;
}
int flag;
int Pow(int x,int y) { /**/
flag=(1ll*mul[x%20000][y]*bml[x/20000][y]>=phi[y]);
flag=max(flag,max(is[x%20000][y],bis[x/20000][y])); /**/
return 1ll*mul[x%20000][y]*bml[x/20000][y]%phi[y];
}
int root,cnt,sum[N*2],ch[N*2][2],mn[N*2];
void update(int x){
sum[x]=(sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]])%P;
mn[x]=min(mn[ch[x][0]],mn[ch[x][1]]);
}
void build(int x,int l,int r){
if(l==r) { sum[x]=a[l]%P;/**/ mn[x]=0; return; }
int mid=(l+r)>>1;
build(ch[x][0]=++cnt,l,mid);
build(ch[x][1]=++cnt,mid+1,r);
update(x);
}
void modify(int x,int l,int r,int L,int R){
if(l==r){
mn[x]++;
if(mn[x]>w) return;
flag=a[l]>=phi[mn[x]];/**/
sum[x]=a[l]%phi[mn[x]]; /**/
for(int i=mn[x];i>=1;i--){
if(flag) sum[x]=Pow(sum[x]+phi[i],i-1);
else sum[x]=Pow(sum[x],i-1);
}
return;
}
if(mn[x]>=w) return;
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=l && r<=R){
modify(ch[x][0],l,mid,L,R);
modify(ch[x][1],mid+1,r,L,R);
}
else{
if(L<=mid) modify(ch[x][0],l,mid,L,R);
if(R>mid) modify(ch[x][1],mid+1,r,L,R);
}
update(x);
}
int ask(int x,int l,int r,int L,int R){
if(L<=l && r<=R) return sum[x];
int ret=0,mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) ret=(ret+ask(ch[x][0],l,mid,L,R))%P;
if(R>mid) ret=(ret+ask(ch[x][1],mid+1,r,L,R))%P;
return ret;
}
int main()
{
n=read(); m=read(); P=read(); c=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
phi[0]=P;
for(int i=1;i<36;i++){
phi[i]=getphi(phi[i-1]);
if(phi[i]==1 && phi[i-1]==1) { w=i; break; }
}
mul[0][0]=1; is[0][0]=mul[0][0]>=phi[0];
for(int i=1;i<=20000;i++) {
is[i][0]=max(is[i-1][0],1ll*mul[i-1][0]*c>=phi[0]?1:0);
mul[i][0]=1ll*mul[i-1][0]*c%P;
}
bml[0][0]=1; bis[0][0]=bml[0][0]>=phi[0];
for(int i=1;i<=20000;i++) {
bis[i][0]=max(bis[i-1][0],1ll*bis[i-1][0]*mul[20000][0]>=phi[0]?1:0);
bml[i][0]=1ll*bml[i-1][0]*mul[20000][0]%P;
}
for(int i=1;i<=w;i++){
mul[0][i]=1; is[0][i]=mul[0][i]>=phi[i];
for(int j=1;j<=20000;j++) {
is[j][i]=max(is[j-1][i],1ll*mul[j-1][i]*c>=phi[i]?1:0);
mul[j][i]=1ll*mul[j-1][i]*c%phi[i];
}
bml[0][i]=1; bis[0][i]=bml[0][i]>=phi[i];
for(int j=1;j<=20000;j++) {
bis[j][i]=max(bis[j-1][i],1ll*bis[j-1][i]*mul[20000][i]>=phi[i]?1:0);
bml[j][i]=1ll*bml[j-1][i]*mul[20000][i]%phi[i];
}
}
build(root=++cnt,1,n);
int opt,l,r;
while(m--){
opt=read(); l=read(); r=read();
if(opt==0) modify(root,1,n,l,r);
else printf("%d\n",ask(root,1,n,l,r)%P);
}
return 0;
}