Educational Codeforces Round 81 (Rated for Div. 2)（B，C，D）

B.Infinite Prefixes

题意&思路

给一个长为n的01串（s），可以通过链接他使它变成t=sss……，平衡值为串中0的个数减去1的个数。给你一个要求的平衡值x，问满足的串有几个（空串也算）。
记q=cnt_0,s-cnt_1,s，a_i为前i个子串的平衡值，t由k个完整的s串构成，我们就可以得到kq+a_i=x。我们要求的就是k的非负整数解，就是k=（x-a_i）/q。
考虑特殊情况q==0的时候，存在a_i==x输出-1，否则输出0。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
const int N=1e6+10;
const int mod=1e7+9;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int minn=0xc0c0c0c0;
const int inf=99999999;
using namespace std;
int a[N];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int n,x,i;
		char s[N];
		cl(a,0);
		cin>>n>>x>>s+1;
		for(i=1;i<=n;i++)
			if(s[i]=='0')
				a[i]=a[i-1]+1;
			else
				a[i]=a[i-1]-1;	
		int p=a[n];
		if(p==0)
		{
			int f=0;
			for(i=0;i<=n;i++)
				if(a[i]==x)
				{
					f=1;
					break;
				}
			if(f)	cout<<"-1"<<endl;
			else 	cout<<"0"<<endl;
		}
		else
		{
			int ans=0;
			for(i=1;i<=n;i++)
				if((x-a[i])%p==0 && (x-a[i])/p>=0)
					ans++;
			if(x==0)
				ans++;
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

C. Obtain The String

题意&思路：

给两个字符串s和t，以及一个空串z。可以将s的子序列添加到z的后面，问最少要多少次能构成t，不能则输出-1。
将s的字母位置存好，二分判断当前需要的字母位置有没有大于已经匹配的位置。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
const int N=1e6+10;
const int mod=1e7+9;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int minn=0xc0c0c0c0;
const int inf=99999999;
using namespace std;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		string s,t;
		cin>>s>>t;
		int l1=s.length(),l2=t.length(),i,vis[26]={0};
		vector<int> a[26];
		for(i=0;i<l2;i++)
			vis[t[i]-'a']=1;
		for(i=0;i<l1;i++)
		{
			vis[s[i]-'a']=0;
			a[s[i]-'a'].push_back(i);
		}
		int p=0;
		for(i=0;i<26;i++)
			if(vis[i])
				p=1;
		if(p)
		{
			cout<<"-1"<<endl;
			continue;
		}
		int ans=1,m=0,ne=-1;
		while(m!=l2)
		{
			int k=t[m]-'a';
			int ask=upper_bound(a[k].begin(),a[k].end(),ne)-a[k].begin();
			if(ask==a[k].size())
			{
				ans++;
				ne=-1;
			}
			else
			{
				m++;
				ne=a[k][ask];
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

D.Same GCDs

题意&思路：

给你a和m。求使gcd(a,m)=gcd(a+x,m)，0≤x<m的x有多少个。
数论真的好难。
设gcd(a,m)=g,那么a=u*g,m=v*g。
由题：
gcd(a+x,m)=gcd(a,m)=g
可得:
gcd((a+x)/g,m/g)=1
即：
gcd(u+x/g,v)=1,x∈[0,m)，所以x/g∈[0,v)。
设i=u+x/g∈[u,u+v)。
即求gcd(i,v)=1
由欧几里得定理得：
gcd(i,v)=gcd(v,i%v)。
将i分成两个区间i₁∈[u,v]和i₂∈(v,u+v)看：
对于第一个区间,因为i₁<v,所以gcd(v,i₁%v)=gcd(v,i₁)。
对于第二个区间，因为v<i₂<2*v,所以gcd(v,i₂%v)=gcd(v,i₂-v)。
因为i₂∈(v,u+v)，所以i₂-v∈(0,u)。
两个区间合并得i∈(0,v],求gcd(v,i)=1成立的i的个数。
欧拉函数：φ(n)为[1,n]中与n互质的数的个数。
即可转化成求φ(v)。
φ(x)=x*(1-1/q₁)*(1-1/q₂)*……*(1-1/q_n),q_i为x的质因数。

欧拉函数代码：

ll eular(ll n)
{
	ll ans=n,i;
	for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)	ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
const int N=1e6+10;
const int mod=1e7+9;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int minn=0xc0c0c0c0;
const int inf=99999999;
using namespace std;
ll eular(ll n)
{
	ll ans=n,i;
	for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)	ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	ll t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		ll a,m,g,res;
		cin>>a>>m;
		g=__gcd(a,m);
		res=eular(m/g);
		cout<<res<<endl;
	} 
	return 0;
}