2020牛客寒假算法基础集训营3——E.牛牛的随机数【数位DP】（待补）

题目传送门

---

题目描述

牛牛和牛可乐是一对好朋友，现在牛牛从值域[l1,r1]中随机给出一个数字a，牛可乐从值域[l2,r2]中随机给出一个数字b。问你 $a\oplus b$的数学期望。其中 $\oplus$为位运算符，表示按位取异或。

为了避免你输出的答案出现精度误差，请你输出一个分数 $P*Q^{-1}(mod\,\, 10^9+7)$ ，其中 $Q^{-1}$ 表示在mod 条件下的乘法逆元。数据保证 $gcd(Q,10^9+7)=1$，也就是说保证 $Q^{-1}$ 在该模条件下有意义,并且保证 $(r_1-l_1+1)(r_2-l_2+1)$不是mod的倍数。

---

输入描述:

第一行是一个正整数 $T(1 \leq T \leq 10^5 )$表示有T组案例。

接下来T行，每行四个正整数 $l_1,r_1,l_2,r_2(1 \leq l_1 \leq r_1 \leq 10^{18},1 \leq l_2 \leq r_2 \leq 10^{18})$

---

输出描述:

请输出期望 $P*Q^{-1}(mod\,\, 10^9+7)$

---

输入

2
3 5 7 8
1 3 3 5

---

输出

500000011
222222228

---

说明

a可取3,4,5，b可取7,8

$3\oplus7=4，4\oplus7=3，5\oplus7=2$

$3\oplus8=11，4\oplus8=12，5\oplus8=13$

共6种情况，答案为 $(4+3+2+11+12+13)/6=45/6=15/2=15*2^{-1}(mod \,\,\, 10^9+7)=15*500000004\%mod=500000011$

---

备注:

乘法逆元： $Q^{-1}(mod\,\, 10^9+7)\equiv Q^{10^9+5}$

---

题解

• 首先答案为 $\frac{\sum_{x=l_1}^{r_1}\sum_{y=l_2}^{r_2}x\oplus y}{(r_1-l_1+1)*(r_2-r_2+1\ )\ }$ ，就是枚举每种情况，然后除以方案总数。
• 首先考虑二进制的个位产生的贡献，那么二进制个位产生的贡献有两部分：
• $[l_1,r_1]$区间内个位为0的数字乘以 $[l_2,r_2]$区间内个位为1的数字。
• $[l_1,r_1]$区间内个位为1的数字乘以 $[l_2,r_2]$区间内个位为0的数字。
  做一个二进制位的数位DP，用于统计该数位0与1的个数。
• 假设 $x \in [l_1,R_1]$中二进制的个位产生0的数目为 $cntx_0$二进制的个位产生1的数目为 $cntx_1$
  $y \in [l_2,R_2]$中二进制的个位产生0的数目为 $cnty_0$二进制的个位产生1的数目为 $cnty_1$
  那么就产生了 $cnty_0 *cntx_1 +cntx_0 *cnty_1$ 的贡献。
• 如果是二进制的十位呢，那么就是 $(cnty_0 *cntx_1+cntx_0 *cnty_1 )*2$。
• 那么二进制的第k位的贡献就为 $(cnty_0*cntx_1+cntx_0*cnty_1)*2^k$
• 不知道题解DP的是什么，待补

---

AC-Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=(int)1e9+7;
int i,i0,T;
long long cnta[70],cntb[70],dp[70][70][2],a[70];
long long dfs(int len,bool maxi,int k,bool f)
{
    if(dp[len][k][f]!=-1&&maxi==0)return dp[len][k][f];
    long long cnt=0;
    if(!len)return f;
    int maxn=maxi?a[len]:1;
    for(int i=0;i<=maxn;i++)cnt+=dfs(len-1,maxi&&i==a[len],k,f||len==k&&i);
    return maxi?cnt:dp[len][k][f]=cnt;
}
long long div(long long tmp,int k)
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    int p=0;
    while(tmp)a[++p]=tmp%2,tmp/=2;
    return dfs(p,1,k,0);
}
long long inv(long long x,long long mod)
{
    long long k=mod-2,ans=1;
    while(k)
    {
        if (k&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        long long l1,r1,l2,r2,p=1,ans=0;
        scanf("%lld %lld %lld %lld",&l1,&r1,&l2,&r2);
        l1--,l2--;
        for(i=1;i<=60;i++,p*=2)
        {
            cnta[i]=div(r1,i)-div(l1,i);
            cntb[i]=div(r2,i)-div(l2,i);
            ans+=(cnta[i]%mod*((r2-l2-cntb[i])%mod)%mod+cntb[i]%mod*((r1-l1-cnta[i])%mod)%mod)*(p%mod)%mod;
            ans%=mod;
        }
        ans%=mod,ans+=mod,ans%=mod;
        ans=ans*inv(((r1-l1)%mod)*((r2-l2)%mod)%mod,mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}