模运算的运算法则及逆元的计算

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

推论：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；

对于（a÷b）%p，如果存在b1,这个b1满足的条件是，b * b1%p=1。。这样，将式子（a÷b）%p乘上b * b1%p，结果不变，式子变为（a * b1）%p。这样就将除法转换为乘法计算。这样的b1称作b模p的逆元。

怎样求逆元呢？
1.费马小定理
如果p为素数，且gcd(b,p)=1,那么就有b^p-1 = 1 (modP),即b * b^p-2 =1(modP)，则b^p-2 即为b模P的逆元。
代码实现：

2.扩展欧几里得求逆元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void ExPower( int b, int p, int & a, int & k ) {
    if( p == 0 ) {
        a = 1; k = 0;
        return;
    }
    ExPower( p, b % p, k, a );
    k -= b / p * a;
    return;
}
int main() {
    int b, p;
    cin >> b >> p;
    int a, k;
    ExPower( b, p, a, k );
    if( a < 0 ) a += p;
    cout << a << endl;
    return 0;
}