回溯、图论——最大团问题（求最大完全子图）

 1.问题分析

 要想解决最大团问题，也就是求最大完全子图。我们需要了解相关概念，现在有如下图：

（1）完全子图：

给定无向图G=（V，E），其中V是顶点集，E是边集。G'=（V'，E'）如果顶点集V'∈V，E'∈E，且G'种任意两个点有边相连，则称G'是G的完全子图。例如下面的几个图都是上图的完全子图：

（2）团：

G的完全子图是G的团，当且仅当G'不包含在G的更大的完全子图中，也就是说G'是G的极大完全子图。比如图中（c），（d）是G的团，而（a）（b）不是G的团，因为他们包含在G的更大的完全子图（c）中。

（3）最大团：

G的最大团是指G的所有团中，含顶点数最大的团，比如说（d）就是最大团。

2.算法设计

（1）约束条件：

最大团问题的解空间包含2^n个子集，这些子集存在集合中的某两个结点没边相连的情况。显然这种情况的可能姐不是问题的可行解，故需要设置约束条件来判断是否有情况可能导致问题的可行解。

假设现在扩展结点到t层，那么1~t-1个结点状态（是否已经在团里）已经确定。接下来沿着扩展点左分支进行扩展，此时需要判断是否将 t结点 放进团里。则判断 t结点 和1~t-1 个结点中被选中的结点是否有相连，相连就放进团里，x[t]=1，否则不放进团里，x[t]=0.如图所示：

（2）限界条件（剪枝函数）：

假设当前的扩展结点为z，如果z处于第t层，前面1~t-1 层的结点的状态已经确定了。接下来确定t结点的状态。前t个结点状态确定当前已放团内的结点个数（用cn表示），假设t+1 ~ n 的所有结点都放进团，用fn表示，且fn=n-t ，则cn+fn是所有从根出发的路径中经过中间结点z的可行解所包含结点个数的上界。

如果fn+cn小于等于当前最优解bestn，则说明不再需要从中间结点z继续像子孙结点搜索。因此，限界条件可以描述为：cn+fn>bestn。

（3）搜索过程：

从根节点开始，以深度游戏按的方式进行。每次搜索到一个结点，判断约束条件，看是否可以将当前结点加入到团中。如果可以，则沿着当前结点左分支继续向下搜索，如果不可以，判断戒指函数，如果满足则沿着当前结点的右分支继续向下搜索。

3.源代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=111; //设置矩阵的大小
int graph[N][N]; //用邻接矩阵存储图
bool x[N]; //是否将i个顶点加入团中
bool bestx[N]; //记录最优已经放入团中的顶点
int bestn; //记录最优值
int cn; //已经放入团中的结点数
int n;//顶点个数
int m; //边的个数

bool place(int t) //判断是否能放进团中
{
    bool OK =true;
    for (int j=1;j<t;j++)  //判断目前扩展的t顶点和前面t-1个顶点是否相连。
    {
        if(x[j] && graph[t][j]==0) //如果不相连
        {
            OK=false; //返回false
            break;
        }
    }
    return OK; //如果相连。返回true
}

void backtrack(int t) //回溯，递推
{
    if(t>n) //当到达叶子结点
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            bestx[i]=x[i]; //记录最优值结点号
        }
        bestn=cn; //记录最优值
        return;
    }
    if(place(t)) //如果能放进团中
    {
        x[t]=1;//标为1
        cn++; //个数+1
        backtrack(t+1); //向下递推
        cn--; //向上回溯
    }
    if(cn+n-t>bestn) //限界条件，进入右子树，不能加入团中。
    {
        x[t]=0; //不能放入团中，标为0
        backtrack(t+1); //向下递推。
    }
}

int main()
{
    int u; //结点1
    int v; //结点2
    cout << "请输入结点的个数n；"<< endl;
    cin >> n;
    cout << "请输入边数m："<< endl;
    cin >>m;
    memset(graph,0,sizeof(graph));
    cout <<"请输入有边相连的两个顶点u和v："<< endl;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin >> u>> v;
        graph[u][v]=1;
        graph[v][u]=1;
    }
    bestn=0;
    cn=0;
    backtrack(1);
    cout << "最大团的结点个数有："<< bestn << endl;
    cout << "结点有："<< endl;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(bestx[i])
        {
            cout << i << "  "; //输出的是结点号
        }
    }
    return 0;
}

4.测试结果