一、P/N法
必胜点和必败点的概念：
P点：必败点，处于此位置的人，在双方操作均正确的情况下必败。
N点：必胜点，处于此位置的人，在双方操作均正确的情况下必胜。
必胜点和必败点的性质：
1、终结点为必败点P
2、该点为必胜点N 等价于 该点至少有一种方式进入必败点P
3、该点为必败点P 等价于 无论如何操作，该点都只能进入必胜点N（即无法进入必败点P）
典例：HDU - 1847
题目大意：
Kiki和Cici打牌，n张牌，轮流抓 ，Kiki先抓
抓牌数只能是2的幂次（1，2，4，8，16…） 张
最后抓完牌的人获胜
于是你可以打出如下的P/N表
于是你发现规律，3的倍数的点都是必败点
当然，没发现也没所谓，这个题 n 还是很小的，确确实实利用上面的性质用循环把表打出来也是可以的
好，理解了P/N法之后我们来继续学习下面的内容
二、经典博弈
1.巴什博弈（Bash Game）
首先说句废话，就是为啥这个叫巴什博奕，原因就是这事巴什发明的数学游戏，接下来要讲的两个博弈同理
巴什博奕事实上超级简单，那么我开讲了
只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。这就是巴什的游戏
根据我们上面讲的 P/N 法实际上就可以轻松的做出来了
我就不多讲了
然后这个是有结论的。记住最好，记不住就 P/N 也就几秒钟的事。
结论是：n 为 (m+1) 的倍数时必败
bool Bash_Game(int n,int m){//1赢0输，以后的代码同理
if(n%(m+1)==0) return 0;
return 1;
}2.尼姆博弈(Nimm Game)
从尼姆博弈开始，我们就要增加难度了，由单游戏向多游戏(组合游戏)转变
N堆物品，每堆有ni>0个物品，依旧是两个人来取，但是可取个数不再是 1~m 而是 1~∞
在这种情况下，问题就变得有意思了，而且还与二进制有密切关系。
对于这种多游戏博弈，我们不再用必败必胜点的说法了，而是说某种局势
奇异局势就相当于必败点，非奇异局势就相当于必胜点。
奇异局势的性质：(事实上就是必胜必败点的性质)
1、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
2、采用适当的方法，总可以将非奇异局势变为奇异局势。
然后有个非常有意思的人还专门提出一个定理
Bouton定理：先手能够在非平衡尼姆博弈中取胜，而后手能够在平衡的尼姆博弈中取胜。(平衡的尼姆博弈就是奇异局势)
（就是你面对奇异局势必败，面对非奇异局势必胜，和P/N一样，这个定理说的什么别再反复读了，知道还有这么个定理就行了)
我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势
第二种奇异局势是（0，n，n），只要对手与我拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）
仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论自己如何拿，接下来对手都可以将其变为（0，n，n）的情形。
那么这些奇异局势共有的特点是什么呢
研究表明：任何奇异局势（a，b，c）都有a⊕b⊕c =0 （异或运算⊕，或者你用模二加法做也一样，模二加减就是异或）
并且可以扩展到 N 个数，奇异局势(n1,n2,..,nN) 有 n1⊕n2⊕...⊕nN=0
这样我们就可以直接判断某一局势是奇异局势还是非奇异局势了
那么非奇异局势是通过进入奇异局势来取胜的，那么是如何进入的呢，让我们进一步来了解一下吧
由于异或运算满足 交换律和结合律 且 a⊕a=0
于是对于 (a,b,c)，让 a=b⊕c，则 a⊕b⊕c = (b⊕c) ⊕ (b⊕c) = 0
同理你也可以让 b=a⊕c 或者 c=a⊕b，n个数同理，就不多说了
bool Nimm_Game(int N){
int ans=0;
for(int i=0;i<N;i++) ans^=n[i];
if(ans) return 1;
return 0;
}典例：POJ - 2234 (纯Nimm博弈，一毛一样)
3.威佐夫博奕（Wythoff Game）
有两堆各a,b个物品，依旧是两个人来取，数量变为 单堆取1~∞个 或 同时从两堆中取同样多的物品。
这个游戏就比较有意思了，对于威佐夫博弈，我们可以发现他的奇异局势，前驱后继是链式的连接
我们用 (x , y) 来表示当前局势
然后 (a[ i ] , b[ i ]) 来表示 第 i 个奇异局势( i >= 0 ) ，前几个奇异局势为：
（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
发现一个威佐夫博弈中的奇异局势所具有的一条特殊性质 和 两个结论
特殊性质：任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
初步结论：a[0] = b[0] = 0，a[ i ] 是未在前面出现过的最小自然数，且 b[ i ] = a[ i ] + i。
而这样的结论我们无法满足，毕竟 a[ i ] 的判断并不简单
于是继续研究 ( 威佐夫博弈中所有研究与证明都请忽略吧，研究的价值不大，学会结论才是最重要的 )
发现，a[ i ] = i * ，
就是著名的黄金分割数
结论：令 b = max(a,b) , a = min(a,b)
若 (b - a) * (1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0 == a 则为奇异局势（必败），否则必胜
bool Wythoff_Game(ll a,ll b){
if(a>b) swap(a,b);
ll tmp=(b-a)*(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
if(tmp==a) return 0;
return 1;
}典例：HDU - 1527 (纯Wythoff博弈，一毛一样)
4.斐波那契博弈(Fibonacci Nim)(官方翻译：斐波那契尼姆)
其实这个放在第二个讲好点，和巴什博奕差不多都很简单
n 个砂子，两人轮流取，开局第一次可取 1 ~ n-1 个，从第二次开始每次可取 1~上一次*2 个
比如我先取了 2 个，轮到你取，你可以取 (1 ~ 4)个，你取了 3 个，然后轮到我取 (1 ~ 6)个
那么这个题呢，博主认为 P/N 法并不适用，比方说 2 是必败点，而你从 3 进到 2 , 2反而变成了必胜点
就是说同一个剩余数量 未必可取数量相同 于是状态不同 必胜必败将不再确定
总之，这个问题是有结论的，关于结论的证明过程博主也懒得去看了，客官也记结论吧，能做题就行
结论：n为斐波那契数则必败
斐波那契数 就这个：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55...
典例：HDU - 2516
三、SG函数和SG定理(Sprague-Grundy)
学会了 P/N法 和 经典博弈 后，就该来谈谈我们的 SG函数和SG定理 了
SG定理是用来解决 多游戏(组合游戏) 的标准方法
SG定理：多游戏的SG函数值等于各个游戏SG函数值的Nim和。(Nim和即模二相加和，即异或和)
讲SG函数前，我们先来讲一下mex(minimal excludant)运算
mex运算：施加于集合，表示最小的不属于这个集合的自然数。例：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex∅=0。
SG函数公式： 令 RES(n) 表示状态 n 的所有后继状态构成的集合 （即 n 被取后剩余数量构成的集合）
令 SG(0) = 0，对 r1,r2,...,rcnt ∈RES(n) 有
SG(n) = mex{ SG(r1) , SG(r2) , ... , SG(rcnt) }
例如：有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子
n=1时，RES = { 0 }，SG( 1 ) = mex { SG (0) } = mex{ 0 } = 1
n=2时，RES = { 1 }，SG( 2 ) = mex { SG (1) } = mex{ 1 } = 0
n=3时，RES = { 0 , 2 }，SG( 3 ) = mex { SG (0) , SG(2) } = mex{ 0 } = 1
n=4时，RES = { 0 , 1 , 3 }，SG( 4 ) = mex { SG (0) , SG(1) , SG(3) } = mex{ 0 , 1 } = 2
n=5时 , RES = { 1 , 2 , 4 }，SG( 5 ) = mex { SG (1) , SG(2) , SG(4) } = mex{ 0 , 1 , 2 } = 3
注：SG函数是单游戏递推得到的函数，对于单游戏，SG 函数完全可以取代 P/N 法
SG函数值 非0 时 必胜，SG函数值为 0 时 必败。多游戏可用 SG 定理求得 和SG函数，进而判断出必胜必败情况
SG函数求取模板：
int sg[MAXN],f[N],vis[MAXN];//f[N]为N种可取个数(从小到大) vis标记RES对应的sg值
void get_sg(){
memset(sg,0,sizeof sg);
for(int i=1;i<MAXN;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int j=0;j<N&&f[j]<=i;j++) vis[sg[i-f[j]]]=1;
for(int j=0;;j++) if(!vis[j]){
sg[i]=j;
break;
}
}
}典例：HDU - 1848
四、扩展与总结
1.SG函数的本质：当前状态为自变量，函数值为距最近的奇异局势(函数值为0)的距离
2.SG定理的理解：当前多游戏的SG函数值，等于子游戏的SG函数值的异或和
3.SG函数事实上是P/N法向多游戏的一个拓展，完全可以用来取代P/N法
4.SG函数的自变量可以是多维，函数值是单一的
多游戏可以直接构造一个多维的SG函数，但往往由于游戏的重复性
加上考量到时空复杂度，我们选取构造一维SG函数并利用SG定理求解
5.SG函数求取方法可概括为：所有当前状态的后继状态(后继状态可为多游戏，那么就是往往
就是一个异或和)对应的SG函数值构成的集合的mex
6.巴什博弈是P/N法的一个应用，尼姆博奕是SG函数与SG定理的一个应用
7.标准的Nimm类游戏(可用P/N SG)要求游戏间操作独立，且对任意状态在任意情况下
进入后继状态可以使用的手段相同，不随情况改变而改变
8.威佐夫博弈由于游戏间可互相影响，不是标准的Nimm类游戏
但是可以将威佐夫博弈整体视作一个二维SG函数的单游戏并加以求解
9.斐波那契博弈中，同一状态在不同情况下进入后继状态的手段不同，不可用P/N与SG
