线性代数学习笔记一

第一章 线性代数中的线性方程组

  1. 线性方程
    包含变量\(x_1,x_2...x_n\)的线性方程是形如\[a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b\]的方程,其中\(b\)与系数\(a_1,a_2,...,a_n\)是实数或复数,通常是已知数。
  2. 线性方程组
    线性方程组是由一个或几个包含相同变量\(x_1,x_2,...,x_n\)的线性方程组成的。例如
    \[2x_1-x_2+1.5x_3= 8\]\[ x_1 - 4x_3=-7\]

    • 线性方程组的是一组数(\(s_1,s_2,...s_n\)),用这组数分别代替\(x_1,x_2,...,x_n\)时,可使方程组成立。
    • 方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集,若两个线性方程组有相同的解集,这两个线性方程组称为等价的
    • 线性方程组的解有以下几种情况:
      1. 无解。
      2. 有唯一解。
      3. 有无穷多解。
  3. 矩阵记号
    一个线性方程组的主要信息可以用一个称为矩阵的阵列来表示,给出方程组
    \[x_1-2x_2+x_3 = 0\]\[2x_2 - 8x_3 = 8\]\[5x_1 - 5x_3 = 10\]
    把每一个变量的系数写在对齐的一行中,矩阵:
    \[\left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 2 & -8\\ 5 & 0 & -5\\ \end{array} \right]\]
    称为方程组的系数矩阵,而
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10\\ \end{array} \right]\]
    称为它的增广矩阵,其实就是把系数矩阵添上一列右边的常数所得。
    矩阵的维数说明它包含的行数和列数,上面的增广矩阵有3行4列,称为3×4矩阵,\(m\)×\(n\)矩阵是一个有\(m\)\(n\)列的数的矩形阵列
  4. 解线性方程组
    用来化简线性方程组的三种基本变换是:把某个方程换成它与另一方程的倍数的和;交换两个方程的位置;把某一方程的所有项乘以一个非零常数。
    接下来我会说明如何利用这三种基本变换来解线性方程组
    给出一线性方程组:\[x_1-2x_2+x_3 = 0\]\[2x_2 - 8x_3 = 8\]\[5x_1 - 5x_3 = 10\]
    表示出其对应的增广矩阵:
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10\\ \end{array} \right]\]
    首先,我们要保留第一个方程中的\(x_1\),把其他方程中的\(x_1\)消去。为此,把第一个方程乘以-5,同第三个方程相加,并用得到的新方程代替第三个方程
    \[x_1-2x_2+x_3 = 0\]\[2x_2-8x_3 = 8\]\[10x_2-10x_3 = 10\]
    增广矩阵为
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 0 & 10 & -10 & 10\\ \end{array} \right]\]
    现在我们将方程二乘以二分之一,再将方程三乘以十分之一即
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ \end{array} \right]\]
    现在我们用方程二减去方程三,并将新得到的方程乘以负三分之一得到:
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ \end{array} \right]\]
    现在矩阵变成了一个阶梯形(这个形式很重要啊)
    接下来我们继续化简,用方程三消除方程一中的\(x_3\),可得到:
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ \end{array} \right]\]
    用方程三消除方程二中的\(x_3\):
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ \end{array} \right]\]
    最后用方程二消除方程一中的\(x_2\)
    \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ \end{array} \right]\]
    我们将其重新写回方程组的形式:
    \[x_1 = 1\]\[x_2 = 0\]\[x_3 = -1\]
    我们可以得出方程组的解集为(1,0,-1)

    值得一提的是,方程组中每一个方程确定一个平面,而方程组的解集为三个平面的交点.
    结合我们之前提到的方程组的解的情况,可知:
    1.当方程组有唯一解时,三个面交于同一点。
    2.当方程组有无穷多解时,三个面交于同一条直线。
    3.当方程组无解时,三个面无共同交点。

参考文献:线性代数及其应用 【美】David C.Lay

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转载自www.cnblogs.com/breadcomplex/p/12298603.html

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