欧几里得算法及其扩展

欧几里得算法及其扩展

欧几里得算法（即辗转相除法， GCD），求 a 和 b 的最大公约数（greatest common divisor）。

参考代码：

int gcd(int a, int b){
	return (b == 0)? a:gcd(b, a%b);
}

裴蜀（贝祖）等式

对于任何整数 a , b 和它们的最大公倍数 d，关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）。

ax + by = m

上述方程有整数解时当且仅当 m 是 d 的倍数。

裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 x，y 都称为裴蜀数，

可用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）求得。

特别的，方程 ax + by = 1 有整数解当且仅当 a, b 互素。

拓展欧几里得算法

求 a, b 的最大公约数 m = gcd(a, b)的同时求出贝祖等式 ax + by = m 的一个解（x₀, y₀）。

设 k = a % b，则 a = bx + k = b * (a/b) +k ==> a%b = a - b * (a/b)

这里的除号 “/” 指的是计算机中不保留小数的除法。

我们要求的是 a * x + b * y = gcd = m

下一个状态是 b * x₁ + (a%b) * y₁ = gcd = m

把 a % b 代入：

gcd = b * x + (a - (a/b) * b) * y₁

= b * x + a * y₁ - (a/b) * b * y₁

= a * y₁ + b * (x₁ - a/b *y₁)

因此，得到递推式：x = y₁ y = x₁ - a/b * y₁

上面的情况正好是 ax + by = gcd

若是求 ax + by = m 且 m % gcd = 0，则特解（x₀, y₀）需要乘以倍数 m/gcd。

通解：

x = x₀ + (b/gcd) * t

y = y₀ - (a/gcd) * t

如果想要得到 x > 0 的第一个解，则 b /= gcd x = (x₀%b+b)%b

（此时 b 就是 x 的变化量）

（x % b 之后 |x₀| < b，但无法保证 x > 0，所以要加上 b 保证 x > 0，但又不保证 < b，故再一次取模）

参考代码：

// 拓展欧几里得算法模板 
int extendGCD(int a, int b){
	// 最后一层的返回条件，此时a就是gcd 
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	// res的结果始终是gcd，不会改变 
	int res = extendGCD(b, a%b);
	// 进行过上一步之后，此时x和y已经是下一层的结果了 
	int x1 = x;
	x = y;
	y = x1 - a/b*y;
	return res;
}

【END】感谢观看