凸优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。凸优化在某种意义上说较一般情形的数学最优化问题要简单，譬如在凸优化中局部最优值必定是全局最优值。
下一个并不严谨的定义，凸优化就是在标准优化问题的范畴内，要求目标函数和约束函数是凸函数的一类优化问题。
可以说，机器学习几乎所有算法都会涉及到凸优化理论，即使是一个非凸优化问题，可以通过数学的等价变换编程一个凸优化问题进行解决。
一旦我们将一个问题转换成或者说表示成了凸优化，这个问题就已经得到了解决。可以见得，凸优化在数学领域，是如此的重要，同时在机器学习里面，他也是一个具有成熟求解方法的问题，而其他优化问题未必。
推荐书籍：《凸优化》(_Stephen Boyd_著，王书宁等译)
凸优化的基本体系
凸优化知识体系主要由以下几个组成：
- 凸集： 定义目标函数和约束函数的定义域。
- 凸函数： 定义优化相关函数的限制。
- 凸优化： 中心内容的标准描述。
- 凸优化问题求解： 本文的重点，相关算法。
- 对偶问题： 将一般问题转换为凸优化问题的有效手段，求解凸优化问题的有效方法。
标准优化问题
标准优化问题例如下式：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-I6aUopAh-1581932008473)(https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20min%26%20%5Cqquad%20f_0(x)]%20%5C%5Cs.t.%20%5Cqquad%20%26f_i(x)%5Cleq%200%2C%20%5Cqquad%20i%3D1%2C%5Cdots%20%2Cm%20%5C%5C%20%5Cqquad%20%26h_i(x)%20%3D%200%2C%20%5Cqquad%20i%3D1%2C%5Cdots%20%2Cn%20%5Cend%7Bmatrix%7D)
表示在所有满足[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TfQjgMZl-1581932008475)(https://math.jianshu.com/math?formula=f_i(x)]%5Cleq%200%2Ci%3D1%2C%5Cdots%20m%20%5Cwedge%20h_i(x)%3D0%2Ci%3D1%2C%5Cdots%2Cp)的[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pDzJ1tF2-1581932008475)(https://math.jianshu.com/math?formula=x)]中找出使[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vCGjfsKx-1581932008476)(https://math.jianshu.com/math?formula=f_0(x)])最小的[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-UXCBGWGR-1581932008476)(https://math.jianshu.com/math?formula=x)]。
这里，[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-j4tXVNJu-1581932008477)(https://math.jianshu.com/math?formula=x%5Cni%20R%5En)],函数[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eyM2lQbP-1581932008478)(https://math.jianshu.com/math?formula=f_0%3AR%5En%5Crightarrow%20R)]称为目标函数，相应的[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0PX6ePe4-1581932008478)(https://math.jianshu.com/math?formula=f_i%3AR%5En%5Crightarrow%20R%20i%3D1%2C%5Cdots%20m)]成为不等式约束，方程组[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-txnLivlM-1581932008479)(https://math.jianshu.com/math?formula=h_i(x)]%3D0)称为等式约束。假设[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BuPk8dTi-1581932008479)(https://math.jianshu.com/math?formula=m%3Dn%3D0)]则称为无约束问题。
对目标和所有约束函数有定义点的集合(定义域)
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tniweZq3-1581932008480)(https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cchi%3D%5Cbigcap_%7Bi%3D0%7D%5Emdomf_i%5Ccap%5Cbigcap_%7Bj%3D1%7D%5Epdomh_j)]
凸优化问题
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-U87T9ocl-1581932008480)(https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20min%20%26%5Cqquad%20f_0(x)]%20%5C%5Cs.t.%20%5Cqquad%20%26f_i(x)%5Cleq%200%2C%20%5Cqquad%20i%3D1%2C%5Cdots%20%2Cm%20%5C%5C%20%5Cqquad%20%26a%5ET_ix%20%3D%20b_i%2C%20%5Cqquad%20i%3D1%2C%5Cdots%20%2Cn%20%5Cend%7Bmatrix%7D)
这里面，[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ueGmSkOQ-1581932008481)(https://math.jianshu.com/math?formula=f_i(x)]%5Cleq%200%2C%20i%3D1%2C%5Cdots%20%2Cm)是一个凸函数，这种优化问题就称为凸优化问题。
对比标准优化问题，也就是说，目标函数和不等式约束为凸函数，等是约束是仿射函数的优化问题就是凸优化问题。
睡觉啦，明天更新
Reference
《凸优化》——_Stephen Boyd_著，王书宁等译
作者：WarrenRyan
链接：https://www.jianshu.com/p/ab16f5b43891
來源：简书
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