【通信原理 入坑之路】—— 通信原理刨根问底：刨一刨“奈奎斯特第一准则”

很多通信原理中挂在嘴边的词，有时候还真弄得不是非常清楚。本文旨在通过对 奈奎斯特第一准则 定义的刨根问底，深入地了解定理以及一些耳熟能详的名词和概念。

刨根对象：奈奎斯特第一准则

表述：在带宽为 $B$ 的信道 $[1]$ 上进行传输，要想无码间串扰 $[2]$ ，那么应有码元速率 $R_s ≤ 2B$ $[3]$ 。而要实现这样的传输速率，必须得使用带宽为 $B$ 的理想低通滤波器 $[4]$ 对信号进行过滤。

疑问 [1]：带宽

信号的带宽

首先是信号的带宽：信号的带宽，就是信号所包含的频率范围，单位是 $Hz$。

通俗地举一个例子：比如一个信号 $f(t)$ 可以分解为： $f(t) = sin(2Πt)+2sinc(4Πt)+5sin(8Πt)$
我们可以看到这个信号由频率分别为： $1Hz, 2Hz, 4Hz$的三种频率的正弦波叠加而成。那么 $f(t)$ 最低频率的成分就是 $1Hz$，最高的频率成分就是 $4Hz$，那么这个 $f(t)$ 信号的带宽 $B$ 就是： $4Hz - 1Hz = 3Hz$

信道的带宽

信道的带宽，可以理解为信道允许信号通过的频率范围。如果把信道比作一条大马路，那么信道的带宽 $B$ 就是这条马路的车道（车道有慢车道，中间车道和快车道）也就对应着信号不同频率分量。

如果信号的频率范围比信道的带宽还要大，就必然会造成严重的失真。

疑问 [2]：码间串扰

什么是码间串扰

我们在抽样判决时刻 $kT_s$ 时，抽样得到的信号的幅值，不仅仅包括在该 $kT_s$ 时刻的码元幅值，还夹杂了其他时刻码元的幅值，这种现象就叫做码间串扰。

比如说，我们非常希望在 $kT_s$ 的抽样时刻采样的波形幅度是下图这样的：

每一个 $kT_s$ 的信号幅度仅仅取决于该时刻的码元幅度。但是，实际上由于信道啊，滤波器的不理想因素，会导致这个模拟信号的形变（比如说拖尾），那么实际上我们在 $kT_s$ 时刻的采样值就会是这样的：

我们看到在 $2T_s$ 抽样时刻，信号的幅值包括 $2T_s$， $T_s$ 两个时刻码元幅值的叠加，这就是码间串扰

码间串扰的消除

既然实际的情况下，信号都会有退拖尾的现象，那么我们能不能构造一个特殊的 “拖尾”，让拖尾在之后的 $kT_s$ 处刚好为0：

这就是我们在之前的 $Blog$ 中讨论到的 $sinc$ 函数了，以脉冲响应 $h(t) = sinc(t)$ 的滤波器过滤数据能保证在每一个抽样时刻 $kT_s$ 信号的幅值都仅取决于这个时刻的值。这就是消除码间串扰的思路。

疑问 [3]：码元

什么是码元

码元我们这样理解：现在我们有一串二进制消息序列 $01011010010111\cdots$，我们在数字通信系统中需要进行信源编码，我们来看看：

1. 如果采取 2 个比特 为一组的划分，上面的序列就变为了： $01\space 01 \space10 \space10 \space01 \space01 \space11 \cdots$
   这两个一组的比特序列就是一个码元，比如这里 $01$是一个码元， $10$也是一个码元
2. 如果采取 4 个比特为一组的划分，上面的序列就变成了： $0101\space1010\space0101\cdots$
   这四个一组的比特序列就是一个码元，比如 $0101$是一个码元， $1010$也是一个码元

以 $k$ 个比特划分可以组成 $M$ 进制的码元，有： $k = log_2M$

什么是码元速率、比特速率

码元速率，就是在单位时间内能够传输的码元的个数，用 $R_s$ 表示。

而比特速率，就是在单位时间内能够传输的比特的数目，用 $R_b$ 表示。

比如一个 4 进制码元（M = 4），假设一秒钟可以传输 6 个码元。那么 $R_s = 6 bit/s$
但是，由于一个码元有 $k = 2$ 个比特组成，因此一秒内相当于传输了 $12$ 个比特，那么比特速率就是： $R_b = 12bit/s$

疑问 [4]：什么是理想低通滤波器

理想低通滤波器的脉冲函数 $h(t)$，就是我们刚刚讨论到的 $sinc(t)$ 函数，它的频率响应如下：

负频率那一半其实只是旋转向量的转向不一样罢了，但是频率绝对值大小是一样的。因此，理想低通滤波器的带宽就是图示的 $B$.

信号通过理想低通滤波器之后，带宽就会被限制在了 $B$ 内，这样才可以通过带宽为 $B$ 的信道而不至于发生严重失真。

实际的低通滤波器

实际的低通滤波器，就是滚降系数不同的升余弦滚降滤波器。因为理想的 $sinc$ 函数尾巴还是挺长的，而实际抽样不可能那么精确第定时到 $kT_s$，因此我们需要使用尾巴更小的 $h(t)$ ，作为实际滤波器的脉冲响应。