泰勒展开式的理解

转自：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/32060408

泰勒展开还是很好理解的，我就我以前学习高数时候根据看课本的理解的在这里大概讲一下吧。
在实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示他，那多项式就是这种简单的形式。
首先还是先回到函数的局部线性近似这个概念。
举个栗子，例如函数 $y=x^3$ ，当自变量有变化时，即 $\Delta x$ ，自变量y会变化 $\Delta y$ ,带入到函数里面就有
$\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$
当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，上式的后两项是 $\Delta x$ 的高阶无穷小舍去的话上式就变成了
$\Delta y=3x^2\Delta x$
也就是说当自变量x足够小的时候，也就是在某点的很小的邻域内， $\Delta y$ 是可以表示成 $\Delta x$ 的线性函数的。线性函数计算起来，求导起来会很方便。
对于一般函数，当在某点很小领域内我们也可以写成类似上面的这种自变量和因变量之间线性关系，
$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)*\Delta x$
变化一下形式
$\Delta y=f(x)-f(x_{0} )$ , $\Delta x = x-x_0$ 在代入上式就有，
$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)$ ,移项有，
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
这个式子是不是很面熟？这个就是在 $x_0$ 点邻域内舍掉高阶无穷小项以后得到的局部线性近似公式了。为了提高近似的精确度，于是把上面的一次近似多项式修正为二次多项式（利用洛必达法则和二阶导数定义，为了理解推导忽略），在进一步，二次修正为三次。。。一直下去就得到了n阶泰勒多项式了。
所谓更精确的近似也就是有了更高的密切程度，这种程度是通过导数来体现的。
例如只做了一次近似的话，
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
近似的多项式和原始函数是通过同一点 $x_0$ 的。
若进行二次近似，
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)$
近似的多项式和原始函数既过同一点，而且在同一点的导数相同，也就是多项式表达的函数在 $x_0$ 点的切线也相同。
类似进行三次近似的话，不仅经过同一点，切线相同，弯曲程度也相同了。
一直下去。。。。
这样近似相关程度多大，近似的也就越精确了。

（图片来自楼上提供的网站Intuition explanation of taylor expansion?）
最后，总结一下好了，泰勒展开就是用形式简单的多项式来近似在 $x_0$ 邻域内的函数，展开越多近似程度越高。

公式就是这个：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(x_0)\times\frac{1}{n!}(x-x_0)^n$

转自百度贴吧：http://tieba.baidu.com/p/3678451244

在x0的附近展开，无论展开到几阶，泰勒多项式的值和原函数的值都近似相等，但距离x0较远的地方，多项式的值和函数值就不接近了，要想让远处的值也接近，就需要展开到更多的阶，当展开阶数趋于无穷时，这个多项式在很大范围里就非常接近原函数啦。

泰勒展开式的理解

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