扩展欧几里得算法证明（exgcd）

总结

学了gcd，肯定得把exgcd学了，不然，我怎么学中国剩余定理。

证明 O（ log n ）

前提条件：d==gcd(a,b)
问题：ax+by=d,求x和y的通解
那么我们先建立一个方程组
A：ax₁ + by₁= d ==gcd(a,b)
B：bx₂ + a%by₂= d ==gcd(b,a%b)
B方程式展开：bx₂ + ( a - a / b * b ) * y₂=d
括号打开再合并：ay₂ + b * ( x₂ - a / b * y₂ ) = d
所以：
x₁=y₂
y₁=x₂ - a / b * y₂
不断递归下去到头
ax + 0*y = gcd(a,0);
所以x=1,y=0;
ax+by=c
如果 d | c 一定有解，否则一定无解
注意1：
exgcd求得是c == d的x,y
x= x * ( c / gcd（a,b） ) , y = y * ( c / gcd(a,b) );
注意2：
exgcd求到得x，可能为负数，所以不断得加最小系数k₁和减去k₂
a * （ x + k₁ ）+ b * ( y - k₂ )=d
展开后，保证a * k₁==b * k₂ == lcm(a,b)
所以 k₁= lcm(a,b) / a , k2 = lcm(a,b)/b;
然后加成正数就行

代码

///第一步：先求exgcd的，x,y
///第二步：看是否需要加系数k1,k2
int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1)///求到c==gcd的一个x与y的解
{
    if(b==0)
    {
        x1=1,y1=0;
        return a;
    }
    int x2,y2;
    int gcd=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1=y2,y1=x2-a/b*y2;
    return gcd;
}
	if(x<0)///不断加最小系数k1和减少k2，让x成为最小正整数解
    {
        int cnt=(x%gcd?-x/gcd+1:-x/gcd);
        x+=b/gcd;
        y-=a/gcd;
    }