前言

混合波束赋形专栏|基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法：整理2016年一篇JSAC高引论文中的混合波束赋形算法，一点拙见，如有偏颇，望不吝赐教，盼即赐复。

文章中心思想

Hybrid Beamforming（简称 HBF ）的优点是能够以相较于传统Full Digital beamforming（简称FD）更低的功耗和硬件成本实现接近FD的性能。在目前的半导体技术下，HBF更有利于应用到实际的大规模MIMO系统中。本文为了求解最优HBF，提出了一种坐标迭代下降算法，即：通过更新HBF中Analog beamforming的每个元素而达到最佳性能。

全文概览

系统模型

在这里插入图片描述

考虑一个窄带下行单小区多用户分布式天线系统，具体配置如下：基站端有 $N$ 根天线， $N_{t}^{\mathrm{RF}}$ 条发送射频链， $K$ 个服务用户，每个用户配有 $M$ 根天线， $N_{r}^{\mathrm{RF}}$ 条接收射频链。每个用户所需的数据流数目为 $N_{s}=K d$ ，并且满足 $K d \leq N_{t}^{\mathrm{RF}} \leq N$ ， $d \leq N_{r}^{\mathrm{RF}} \leq M$ 。在混合波束赋形架构中，基站首先在基带使用一个 $N_{t}^{R F} \times N_{s}$ 的digital precoder $\mathbf{V}_{D}$ 进行数字波束赋形，然后通过 $N_{t}^{R F}$ 条发送射频链上变频到载频
。随后使用一个通过模拟移相器实现大小为 $N \times N_{t}^{R F}$ 的RF precoder $\mathbf{V}_{RF}$ (受到恒模约束： $\left|\mathbf{V}_{R F}(i, j)\right|^{2}=1$ )构造最终的发射信号。发射信号可以表示为： $\mathbf{x}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D} \mathbf{s}=\sum_{l=1}^{K} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{i}} \mathbf{s}_{l}$
其中 $\mathbf{V}_{D}=\left\lfloor\mathbf{V}_{D_{1}}, \mathbf{V}_{D_{2}}, \ldots, \mathbf{V}_{D_{K}}\right\rfloor$ ， $\mathbf{s} \in \mathbf{C}^{N_{s} \times 1}$ ，其包含了 $K$ 个用户的数据流。对于第 $k$ 用户，接收信号可以建模为： $\mathbf{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{k}} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{H}_{k} \sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{l}} \mathbf{s}_{l}+\mathbf{z}_{k}$
其中 $\mathbf{H}_{k} \in \mathbf{C}^{M \times N}$ ，它是基站发射天线到第 $k$ 个用户天线的复信道增益矩阵， $\mathbf{z}_{k} \sim \mathcal{C} N\left(0, \sigma^{2} \mathbf{I}_{M}\right)$ 代表高斯加性白噪声。
在接收端，对于用户 $k$ 首先使用一个大小为 $M \times N_{t}^{R F}$ 的RF combiner(受到恒模约束： $\left|\mathbf{V}_{R F}(i, j)\right|^{2}=1$ )进行处理，然后通过 $N_{r}^{R F}$ 条射频链下变频到基带，经过digital combiner $\mathbf{W}_{D_{k}} \in \mathbf{C}^{N_{r}^{R F} \times d}$ 处理后得到最终的数据流。因此，最终处理的信号可以表示为： $\widetilde{\mathbf{y}}_{k}=\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{t_{k}} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{t_{l}} \mathbf{s}_{l}+\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{z}_{k}$
其中： $\mathbf{V}_{t_{k}}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{k}}$ ， $\mathbf{W}_{t_{k}}=\mathbf{W}_{R F_{k}} \mathbf{W}_{D_{k}}$ 。对于这样一个系统，第 $k$ 个用户在高斯信号假设下的总频谱效率可以表示为：
$R_{k}=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M}+\mathbf{W}_{t_{k}} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{t_{k}} \mathbf{V}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}\right|$
其中 $\mathbf{C}_{k}=\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k}\left(\sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{t_{l}} \mathbf{V}_{t_{i}}^{H}\right) \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{W}_{t_{k}}+\sigma^{2} \mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{W}_{t_{k}}$ 。考虑恒模约束，功率约束，以最大频谱效率为目标函数的HBF设计问题可以描述为：

$P$ 是基站的总功率约束， $\beta_{k}$ 是用户 $k$ 的优先级， $\beta_{k} / \sum_{l=1}^{K} \beta_{l}$ ，则代表用户 $k$ 的优先级越高。

大规模天线点对点MIMO系统的场景

在该窄带场景下， $K=1$ ， $\min (N, M) \geq N_{s}$ 。为了不失一般性， $N_{t}^{R F}=N_{r}^{R F}=N^{R F}$ 。此时的总频谱效率可以写为： $R=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M}+\frac{1}{\sigma^{2}} \mathbf{W}_{t}\left(\mathbf{W}_{t}^{H} \mathbf{W}_{t}\right)^{-1} \mathbf{W}_{t}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{t} \mathbf{V}_{t}^{H} \mathbf{H}^{H}\right|$ 其中 $\mathbf{V}_{t}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D}$ ， $\mathbf{W}_{t}=\mathbf{W}_{R F} \mathbf{W}_{D}$ 。
作者的思路是：首先假设接收端是最优的，设计最优hybrid precoders。然后针对已经设计好的发送端，在设计最优hybrid combiner。于是，发送端的设计问题可以写为：

对于这样一个非凸问题直接求解仍然是很困难的，作者由将该问题分解为固定 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 求解 $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}$ ，然后固定 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 求解 $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}$ 。在求解 $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}$ 时有一个很好的闭式解就是： $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}=\mathbf{Q}^{-1 / 2} \mathbf{U}_{e} \mathbf{\Gamma}_{e}$ 该闭式解是通过注水算法得到的。作者假设数据流等功率分配， $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \approx N \mathbf{I}$ 。可以在 $N^{\mathrm{RF}}=N_{s}$ 下得到一个很好的结论，即： $\mathbf{V}_{\mathrm{D}} \mathbf{V}_{\mathrm{D}}^{H} \approx \gamma^{2} \mathbf{I}$ 。其中， $\gamma^{2}=P /\left(N N^{\mathrm{RF}}\right)$ 。利用该近似， $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 的求解问题可以描述为：

其中 $\mathbf{F}_{1}=\mathbf{H}^{H} \mathbf{H}$ 。对于这个问题的求解，作者提出了基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法 $\color{red}{（也就是本文的重头戏）}$ 。简单来说，该方法就是提取 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 中的每个元素 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 对目标函数的影响。上述的目标函数用 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 可以表示为： $\log _{2}\left|\mathbf{C}_{j}\right|+\log _{2}\left(2 \operatorname{Re}\left\{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(i, j) \eta_{i j}\right\}+\zeta_{i j}+1\right)$ 其中： $\mathbf{C}_{j}=\mathbf{I}+\frac{\gamma^{2}}{\sigma^{2}}\left(\overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}\right)^{H} \mathbf{F}_{1} \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}$ ， $\overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}$ 是移除 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 第 $j$ 列后的子矩阵。其他参数的定义为： $\eta_{i j}=\sum_{\ell \neq i} \mathbf{G}_{j}(i, \ell) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(\ell, j)$
$\begin{aligned} \zeta_{i j}=& \mathbf{G}_{j}(i, i) \\ &+2 \operatorname{Re}\left\{\sum_{m \neq i, n \neq i} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(m, j) \mathbf{G}_{j}(m, n) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(n, j)\right\} \end{aligned}$
$\mathbf{G}_{j}=\frac{\gamma^{2}}{\sigma^{2}} \mathbf{F}_{1}-\frac{\gamma^{4}}{\sigma^{4}} \mathbf{F}_{1} \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j} \mathbf{C}_{j}^{-1}\left(\overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}\right)^{H} \mathbf{F}_{1}$ 虽然上述表达式看似很复杂，但是推导并不困难，只需要将原目标函数逐项展开，表示成 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 的函数即可。假设除 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 之外的元素均固定，则对 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 可以更新可以表示为： $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)=\left\{\begin{array}{cl}{1,} & {\text { if } \eta_{i j}=0} \\ {\frac{\eta_{i j}}{\left|\eta_{i j}\right|},} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.$ 通过逐项更新最后就可以得到最优 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 。综上所述， $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 的求解可以表示为：

接收端的设计问题为：

其中 $\mathbf{F}_{2}=\mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathrm{t}} \mathbf{V}_{\mathrm{t}}^{H} \mathbf{H}^{H}$ ，利用 $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} \approx M \mathbf{I}$ 的假设，该问题可以表示为：

可以看出通过简单的变量代换就能共使用算法1继续求解 $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 。最后再设计 $\mathbf{W}_{\mathrm{D}}$ 。利用MMSE准则下的闭式解 $\mathbf{W}_{\mathrm{D}}=\mathbf{J}^{-1} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathbf{t}}$ ，其中 $\mathbf{J}=\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathrm{t}} \mathbf{V}_{\mathrm{t}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 。
需要注意的是前面的所有假设与近似均是在 $N^{\mathrm{RF}}=N_{s}$ 进行的，但是可以将目标函数表示成特征值的形式并且证明 $N^{\mathrm{RF}}=N_{s}$ 下的情况可以作为 $N_{s}<N^{\mathrm{RF}}<2 N_{s}$ 的一个上界近似。所以本文建议先设计 $N^{\mathrm{RF}}=N_{s}$ 情况下的 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ ，然后再设计 $N_{s}<N^{\mathrm{RF}}<2 N_{s}$ 下的 $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}$ 。综上，整个点对点窄带场景下的混合波束赋形算法可以总结为：

大规模天线MU-MISO系统的场景

该场景下需要考虑用户间的干扰，对于用户 $k$ ，HBF下的速率可以表达为：
$R_{k}=\log _{2}\left(1+\frac{\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{v}_{\mathrm{D}_{k}}\right|^{2}}{\sigma^{2}+\sum_{\ell \neq k}\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{v}_{\mathrm{D}_{\ell}}\right|^{2}}\right)$ $\mathbf{h}_{k}^{H}$ 是从BS到第 $k$ 个用户的信道， $\mathbf{V}_{\mathrm{D}_{\ell}}$ 表示的是digital precoder $\mathbf{V}_{\mathrm{D}}$ 第 $\ell$ 列。为了克服用户间干扰，在基站端使用ZF（zero-forcing）digital precoder。具体为：
$\mathbf{V}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{ZF}}=\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}^{H}\left(\mathbf{H V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}^{H}\right)^{-1} \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}=\tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}} \mathbf{P}^{\frac{1}{2}}$
其中 $\mathbf{H}=\left[\mathbf{h}_{1}, \dots, \mathbf{h}_{K}\right]^{H}$ ， $\tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}}=\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}^{H}\left(\mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H}^{H}\right)^{-1}$ ， $\mathbf{P}=\operatorname{diag}\left(p_{1}, \dots, p_{K}\right)$ 且 $p_{k}$ 表示对 $k$ 个用户分配的功率。之所以ZFdigital precoder，因为其有一个很好的性质： $\left|\mathbf{h}_{k}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{v}_{\mathrm{D}_{k}}^{Z \mathrm{F}}\right|=\sqrt{p_{k}}$ ， $\left|\mathbf{h}_{k}^{\mathbf{H}} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \mathbf{v}_{\mathrm{D}_{\ell}}^{\mathrm{ZF}}\right|=0$ 。则此时的设计问题可以表示为：

其中 $\tilde{\mathbf{Q}}=\tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}}$ ，该问题有可以很容易的通过注水算法求得： $p_{k}=\frac{1}{\tilde{q}_{k k}} \max \left\{\frac{\beta_{k}}{\lambda}-\tilde{q}_{k k} \sigma^{2}, 0\right\}$ 其中 $\tilde{q}_{k k}$ 是 $\tilde{\mathrm{Q}}$ 的第 $k$ 个对角线元素。 $\lambda$ 满足 $\sum_{k=1}^{K} \max \left\{\frac{\beta_{k}}{\lambda}-\tilde{q}_{k k} \sigma^{2}, 0\right\}=P$
在ZF precoder设计好的情况下，可以看出总速率取决于功率约束中的 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ ，因此RF precoder的设计问题可以转化为功率最小化问题，即： $\begin{array}{ll}{\min _{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}}} & {f\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)} \\ {\text { s.t. }} & {\left|\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)\right|^{2}=1, \forall i, j}\end{array}$ 其中 $f\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}} \mathbf{P} \tilde{\mathbf{V}}_{\mathrm{D}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H}\right)$ 。使用 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \approx N \mathbf{I}$ 的近似有：

其中 $\tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{P}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{H}$ 。还是与窄带情况下的思路一样，求出 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)$ 对目标函数的贡献。因此有：
$\hat{f}\left(\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}\right)=N \operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}_{j}^{-1}\right)-N \frac{\zeta_{i j}^{B}+2 \operatorname{Re}\left\{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(i, j) \eta_{i j}^{B}\right\}}{1+\zeta_{i j}^{D}+2 \operatorname{Re}\left\{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(i, j) \eta_{i j}^{D}\right\}}$
假设除 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)=e^{-j \theta_{i, j}}$ 之外的元素均固定， $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)=e^{-j \theta_{i, j}}$ 更新的规则为： $\begin{aligned} \theta_{i, j}^{(1)} &=-\phi_{i, j}+\sin ^{-1}\left(\frac{z_{i j}}{\left|c_{i j}\right|}\right) \\ \theta_{i, j}^{(2)} &=\pi-\phi_{i, j}-\sin ^{-1}\left(\frac{z_{i j}}{\left|c_{i j}\right|}\right) \end{aligned}$ 其中 $c_{i j}=\left(1+\zeta_{i j}^{D}\right) \eta_{i j}^{B}-\zeta_{i j}^{B} \eta_{i j}^{D}, z_{i j}=\operatorname{Im}\left\{2\left(\eta_{i j}^{B}\right)^{*} \eta_{i j}^{D}\right\}$ ，且：

最优 $\theta_{i, j}$ 可表示为： $\theta_{i, j}^{\mathrm{opt}}=\underset{\theta_{i, j}^{(1)}, \theta_{i, j}^{(2)}}{\arg \min }\left(\hat{f}\left(\theta_{i, j}^{(1)}\right), \hat{f}\left(\theta_{i, j}^{(2)}\right)\right)$ 。
通过交替迭代 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}$ 就可以得到最优的HBF设计。综上，MU-MISO下的HBF算法为：

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仿真结果

MIMO系统下的HBF性能

考虑一个 $64 \times 16 \mathrm{MIMO}$ 系统， $N^{\mathrm{RF}}=N_{s}=6$ ，与FD方法、[25]、[27]进行了比较，分别有1dB、1.5dB的提升，更加接近于FD。

MU-MISO下的HBF性能

考虑一个8用户，基站端发射天线 $N=64$ 的MU-MISO系统。假设每个用户的优先级相同，即： $\beta_{k}=1, \forall k$ ，作者比较了所提出算法在 $K+1=9$ 条射频链和 $K=8$ 条射频链下[33]与[32]中的算法。提出的算法在额外增加一条射频链的强看下与全数字ZF波束形成速率非常接近，它将[33]中的方法改进了约1 dB。

结论：数值计算结果表明，所提出方法的性能在MIMO和MU-MISO场景下均十分接近全数字波束形成方案。虽然本文所提出的算法都需要完美的CSI，但它们都可以作为混合波束赋形结构最大可达速率的基准。因此在很多新的HBF算法在进行性能分析时，会同该算法进行比较。