欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数

欧几里得算法求最大公约数

Sometimes your whole life boils down to one insane move.
人这一辈子，有时就得靠一次疯狂的举动才能扭转乾坤。
------------------《阿凡达》

一、介绍欧几里得

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  像所有博客一样，出于尊重，介绍一下这位伟大的数学家欧几里得。

  欧几里得，古希腊人，数学家，主要成就：数学巨著《几何原本》、欧几里得算法、完全数。

  在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯（约410～485）的《几何学发展概要》中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反)，以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦，学点儿几何学。

  虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却令他学的很吃力。于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”，欧几里得笑道：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的。学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的。在这一方面，国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。
  总之呢，任何事情都是这样，哪有这么多得捷径可走，天才往往都是天天积累成才。

二、实现思路

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定义2.1：设m和n是两个不全为0的整数，称m与n的公因子中最大的为m与n的最大公因子，或最大公约数(greatest common divisor)，记作gcd(m,n)
定义2.2：设m和n是两个非零整数，称a与b最小的公倍数为m与n的最小公倍数(least common multiple)，记作lcm(m,n)

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欧几里得算法又称辗转相除法
s：设两个正整数m，n且m > n ;
s1：令r=m%n（%代表取余）；
s2：若r=0(即n整除m)运算结束，n为结果 ；
s3：否则令m=n，n=r并返回s1 ；

三、核心思想

gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n)
lcm(m,n) = ab/gcd(m,n)

证明：不妨设 m=k₁d ,n=k₂d , k₃ = m/n (整除) 则 r=m-k₃n=k₁d-k₂k₃d=(k₁- k₂k₃)d
故r也是d的倍数，得证 $gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n)gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n) \it gcd (m,n)=gcd(n,mod(m,n)$gcd(m,n)=gcd(n,mod(m,n)

四、优点

一看相比于穷举法，效率也会高很多

五、核心代码

int gcd(int m,int n)
{
	int t,r;
	if(m<n)
	swap(m,n); //交换二者的值
	while(n!=0)
	{
		r=m%n;
		m=n;
		n=r;
	}
	return m;
}
int gcd(int m,int n) // 递归做法
{
	if(m<n)
	swap(m,n); //交换二者的值
	if(n==0) return m; 
	return gcd(n,m%n);
}
int lcm(int gcd,int m,int n)
{
	return m/gcd*n;
}

  
  

  
  

   
   
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参考来源：人物简介源自百度百科

在CSDN上的第一篇文章，２０１９加油！