动态规划之数塔问题与矩阵取数问题

1.数塔问题

1.1题目描述

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

1.1.1 Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

1.1.2 Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

1.2 思路

通过分析这个数字三角形，我们可以发现：一个节点只会受到上面两个节点的影响，而上面节点的值也只会受到更上面的节点的值的影响……由此写出递归式即状态转移方程式：

num[i][j] = Math.max(num[i-1][j-1]+num[i][j], num[i-1][j]+num[i][j]);		

根据这个式子，我们可以从num[1][1]开始递推，直到最后一行。时间复杂度O(n^2)。

1.3 JAVA代码实现

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int m = sc.nextInt();
		
		while(m > 0) {
			m = m-1;
			int n = sc.nextInt();
			int[][] num = new int[n+1][n+2];
			for(int i = 1;i <= n;i++) {
				for(int j=1;j <= i;j++) {
					num[i][j] = sc.nextInt();				
				}
			}
			
			for(int i = 1;i <= n;i++) {
				for(int j=1;j <= i;j++) {
					num[i][j] = Math.max(num[i-1][j-1]+num[i][j], num[i-1][j]+num[i][j]);				
				}
			}
			
			int max = 0;
			for(int i = 0;i<=n+1;i++) {
				max = Math.max(num[n][i], max);
			}
			System.out.println(max);
			
		}
	}
}

2.矩阵取数问题

2.1题目描述

一个N*N矩阵中有不同的正整数，经过这个格子，就能获得相应价值的奖励，从左上走到右下，只能向下向右走，求能够获得的最大价值。

例如：3 * 3的方格。

1 3 3

2 1 3

2 2 1

能够获得的最大价值为：11。

2.1.1 Input

第1行：N，N为矩阵的大小。(2 <= N <= 500) 第2 - N + 1行：每行N个数，中间用空格隔开，对应格子中奖励的价值。（1 <= Ni <= 10000)

Output

输出能够获得的最大价值。

2.1.2 Sample Input

3
1 3 3
2 1 3
2 2 1

Sample Output

11

2.2 思路

先用array二维数组保存这些数字，max[1][1] = array[1][1],然后max[i][j]位置等于array[i][j]加上max[i][j]上面或左边比较大的那个数，这样max[N][N]位置存放的就是通过某条路径价值最大的数。

状态转移方程式：
max[i][j] = Math.max(max[i-1][j],max[i][j-1]) + a[i][j];

2.3 JAVA代码实现

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int[][] array = new int [n+1][n+1];
		int[][] max = new int [n+1][n+1];
		
		for(int i = 1;i <= n;i++) {
			for(int j=1;j <= n;j++) {
				array[i][j] = sc.nextInt();				
			}
		}
		
		for(int i = 1;i <= n;i++) {
			for(int j = 1;j <= n;j++) {
				max[i][j] = Math.max(max[i-1][j],max[i][j-1]) + array[i][j];					
			}
		}
		
		System.out.println(max[n][n]);
	}

}