良序原理(well-ordering)

良序原理(well-ordering)

• 自然数集的每个非空子集都有个最小元素，即自然数在其标准的大小关系下构成一良序集
• 在公理集合论中，自然数集定义为最小的归纳集合（包含0且包含本身中每个元素的后继的集合），可以证明，所有满足{0,...,n}为良序集的n组成的集合是一个归纳集合，从而是自然数集本身。由此可以推出自然数集本身也是个良序集。
• 良序定理是选择公理的等价形式之一
  • 其内容为：对任何集合S，存在S上的二元关系R，使得<S，R>是良序集
• 意义
  • 良序原理的意义主要在于，在证明时可以使用所谓的“最小反例法”，它相当于反证法和数学归纳法的结合。
• 一般描述：设"<"是集合S上的一个关系，它满足以下性质：
  1. 给定S中的x,y,和z,如果 x<y 和 y<z,则 x<z;
  2. 给定S中的x和y，以下三种可能中恰有一种为真：
     1. x<y
     2. x=y
     3. y<x
  3. 如果A是S的任何非空子集，则A中有一个元素x，使得对于A中所有的y，有x<=y（即x<y或x=y）
  • 这个关系被称为S的一个良序关系
• 在计算机算法中的应用
  • 如果我们能把一个计算的诸状态x映射到属于良序集S的一个元素f(x)，且使得计算的每一步把一个状态x转换成状态y，并有f(y)<f(x),则算法必然终止。

在计算机算法中，最经典（个人觉得^_^）

设S对于<是良序，且设P(x)是关于S的元素x的一个命题。
求证：如果在对于所有的y < x,P(y)为真的假定下能证得P(x)为真，则P(x)对S中得所有x为真。
证明：
令A是使得P(x)为假的所有的x的集合。
如果A非空，则它含有最小的元素x0。
因此，P(y)对于所有y < x0为真。
但这意味着P(x0)为真，所以x0不在A中（与假设矛盾）
因此：A必须为空 => 即P(x)总是为真。

以上，也可用于P(1)的证明

对于所有正整数 y < 1,如果P(y)为真，则P(1)为真。