顶点对之间的最短路径是指：对于给定的有向网G=(V,E),要对G中任意一对顶点有序对V、W(V≠W),找出V到W的最短距离和W到V的最短距离。
解决此问题的一个有效方法是:轮流以每一个顶点为源点,重复执行迪杰斯特拉算法n次,即可求得每一对顶点之间的最短路径,总的时间复杂度为O(n3)。
弗洛伊德（Floyd）提出了另外一个求图中任意两顶点之间最短路径的算法，虽然其时间复杂度也是 O(n3)，但其算法的形式更简单，易于理解和编程。
1、算法基本思想
弗洛伊德算法仍然使用图的邻接矩阵arcs[n+1][n+1]来存储带权有向图。算法的基本思想是:设置一个n x n的矩阵A(k)，其中除对角线的元素都等于0外，其它元素a(k)[i][j]表示顶点i到顶点j的路径长度，K表示运算步骤。开始时，以任意两个顶点之间的有向边的权值作为路径长度，没有有向边时，路径长度为∞，当K=0时, A (0)[i][j]=arcs[i][j]，以后逐步尝试在原路径中加入其它顶点作为中间顶点，如果增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径，修改矩阵元素。具体做法为：
第一步，让所有边上加入中间顶点1，取A[i][j]与A[i][1]+A[1][j]中较小的值作A[i][j]的值，完成后得到A(1)，
第二步，让所有边上加入中间顶点2，取A[i][j]与A[i][2]+A[2][j]中较小的值，完成后得到A(2)…，如此进行下去，当第n步完成后，得到A(n)，A(n)即为我们所求结果,A(n)[i][j]表示顶点i到顶点j的最短距离。
因此，弗洛伊德算法可以描述为:
A(0)[i][j]=arcs[i][j]; //arcs为图的邻接矩阵
A(k)[i][j]=min{A(k-1)[i][j],A(k-1) [i][k]+A(k-1) [k][j]}
其中 k=1,2,…,n
定义一个n阶方阵序列：
D(-1), D(0), …, D(n-1).
其中 D(-1) [i][j] = G.arcs[i][j]；
D(k) [i][j] = min { D(k-1)[i][j]，D(k-1)[i][k] + D(k-1)[k][j] },k = 0,1,…, n-1
D(0) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点是v0的最短路径的长度,
D(k) [i][j]是从顶点vi 到vj , 中间顶点的序号不大于k的最短路径长度,
D(n-1)[i][j]是从顶点vi 到vj 的最短路径长度。
2、算法的C语言描述
3、算法的完整实现
#define INF 32767 //INF表示无穷
#define MAXV 10
#include "stdio.h"
//以下是输出最短路径的算法dispath，其中ppath（）函数在path中递归输出从顶点vi到vj的最短路径。
void ppath(int path[][MAXV],int i,int j)
{ int k;
k=path[i][j];
if(k==i) //path[i][j]=i时,顶点vi和vj之间无中间顶点,也就是说找到了始节点
return;
ppath(path,i,k);
printf("v%d,",k);
ppath(path,k,j);
}
void dispath(int A[][MAXV],intpath[][MAXV],int n)
{ int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
if(A[i][j]==INF)
{
if(i!=j)
printf("从顶点v%d到v%d没有路径:\n",i,j);
}//if
else
{
printf("从顶点v%d到v%d的路径为:",i,j);
printf("v%d,",i);
ppath(path,i,j);
printf("v%d,",j);
printf("路径长度为: %d ^-^\n",A[i][j]);
}//else
}
}
void floyd(int cost[MAXV][MAXV],int n)
{
int A[MAXV][MAXV],path[MAXV][MAXV];
int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++) //赋值A0[i][j]和path0[i][j]
for(j=0;j<n;j++)
{
A[i][j]=cost[i][j];
if(cost[i][j]<INF)
path[i][j]=i; //初始化路径矩阵，原来有路
else
path[i][j]=-1; //原来没有路
}//for
for(k=0;k<n;k++) //向vi与vj之间中n次加入中间顶点vk
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++) //求min{Ak[i][j]，Ak+1[i][k]+Ak+1[k][j]}
if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
{
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;//表示从i节点到j节点,要经过k节点。
}//if,for
dispath(A,path,n); //输出最短路径
}//floyd
int inputM(int cost[][MAXV])
{
int n,e,w,h,z;
/*
printf("Please input 顶点数和边数\n");
scanf("%d%d",&n,&e);
*/
n=3;
e=5;
for(int i=0;i<n;i++)
for(intj=0;j<n;j++)
{
if(i==j)cost[i][j]=0;
elsecost[i][j]=INF;
}
/*
printf("please int the 邻接矩阵的值(起点(数字) 终点(数字) 权值(数字))：\n");
for(int i=0;i<e;i++)
{
scanf("%d%d%d",&h,&z,&w);
cost[h][z]=w;
}//for
*/
cost[0][1]=4;
cost[0][2]=11;
cost[1][0]=6;
cost[1][2]=2;
cost[2][0]=3;
return n;
}
int main()
{
int n;
int cost[MAXV][MAXV];
n=inputM(cost); //返回顶点数
floyd(cost,n);
}
4、实例
有向图如下：
其D和P矩阵变化过程如下：
5、注意点：
a) Floyd算法允许图中有带负权值的边，但不许有包含带负权值的边组成的回路。
